Функция от матрицы

[karandash_oleg]

Здравствуйте! Есть вопрос по задаче!

$\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}A\right)=?$

$A=\begin{pmatrix} 3&4 &-6 \\ 4&3 &-6 \\ 4&4 &-7\\ \end{pmatrix}$

Хочется посчитать по этой формуле $\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}A\right)=\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}SJS^{-1}\right)=S\cdot\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}J\right)\cdot S^{-1}$

Но ведь котангенс в нуле не раскладывается в ряд Тейлора... Как быть тут?

[Urnwestek]

Я не знаю как решать эту задачу, но:

Цитата:

Но ведь котангенс в нуле не раскладывается в ряд Тейлора...

$\ctg(x) - \frac{1}{x}$ доопределенный по непрерывности в точке 0 (устранимого разрыва) — раскладывается. возможно это вам поможет.

[ewert]

Матрица диагонализуема, поэтому котангенс от её диагонального представления берётся тупо. Тем более тупо, что там ещё и собственные числа очень хорошие.

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #794705 писал(а):

Матрица диагонализуема, поэтому котангенс от её диагонального представления берётся тупо. Тем более тупо, что там ещё и собственные числа очень хорошие.

Спасибо! Так?

$$\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}J\right)=\ctg\left(\dfrac{\pi}{4}\cdot \begin{pmatrix} -1&0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0&0 &1\\ \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} \ctg(-\frac{\pi}{4})&0 &0 \\ 0&\ctg(-\frac{\pi}{4}) &0 \\ 0&0 &\ctg(\frac{\pi}{4})\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0&0 &1\\ \end{pmatrix}$$

[ewert]

Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #794727 писал(а):

Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.

Спасибо! А как проверять на диагонализуемость (или только непосредственным вычислением?)

[ewert]

Только. Во всяком случае, всё остальное дороже выйдет.

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #794727 писал(а):

Так. Но только потому, что она именно диагонализуема, т.е. потому, что у неё есть собственный базис. Иначе было бы сложнее.

Спасибо! А почему именно так тупо можно сделать и именно тогда, когда диагонализуема? С чем это примерно связано?

[Otta]

karandash_oleg в сообщении #794751 писал(а):

А почему именно так тупо можно сделать и именно тогда, когда диагонализуема? С чем это примерно связано?

С определением. Из определения функции от матрицы следует, что если матрица $A$ диагональна, то $f(A)$ тоже диагональна, и под действием функции элементы на диагонали переходят в значения функции от этих элементов. Если жорданова клетка - то получится верхнетреугольная матрица, заполненная коэффициентами ряда Тейлора, в точке, равной соотв. этой клетке собств. значению.

Если матрица недиагонализируема, производные понадобятся - в нужных точках и до нужного порядка. В этой задаче производная в нуле не нужна, по двум причинам: матрица подобна диагональной, во-первых (то есть необходимо вычислять только значения самой функции), во-вторых, в любом случае производные вычисляются в точках спектра, а ноль у нас ею не является.

P.S. Конечно, определение ниоткуда не берется, но это уже отдельная песня.