Равностепенная непрерывность

[Dosaev]

Хорошо, предельная функция не является непрерывной, значит последовательность непрерывных функций $ t^{\frac{1}{n}}$ не сходится равномерно, значит она не равностепенно непрерывна? Такая должна быть логическая цепочка, что ли? Если так, то наше множество $S$ содержит не равностепенно непрерывное подмножество, значит оно само неравностепенно непрерывно?

[ewert]

Dosaev в сообщении #793425 писал(а):

Множество $S \subset C(T) $ называется равностепенно непрерывным, если $\forall \varepsilon ~ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: ~ \forall t, \tau \in T$ таких, что $\rho(t,\tau)<\delta$ и $~ \forall x \in S$ выполнено неравенство $|x(t) - x(\tau)| < \varepsilon.$

А как выглядит отрицание этого высказывания?...

(у Вас слишком много значков, и это вполне способно сбить с толку)

[Dosaev]

$\exists \varepsilon_0 > 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists t = t(\delta), ~\tau = \tau(\delta) \in T$ такие, что $\rho(t, \tau) < \delta$ и $\exists x = x(\delta) \in S$ для которого выполнено неравенство $|x(t) - x(\tau)| \ge \varepsilon_0.$

Но Oleg Zubelevich уже сказал, что можно применить в этой задаче.

[ewert]

Dosaev в сообщении #794324 писал(а):

$\exists \varepsilon_0 > 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists t = t(\delta), ~\tau = \tau(\delta) \in T$ такие, что $\rho(t, \tau) < \delta$ и $\exists x = x(\delta) \in S$ для которого выполнено неравенство $|x(t) - x(\tau)| \ge \varepsilon_0.$

И снова -- слишком много слов, надо примерно так:

$\exists \varepsilon > 0:\ (\forall \delta > 0)\ \exists t,\tau:\;|t-\tau|<\delta,\ \exists x_{\alpha}:\ |x_{\alpha}(t) - x_{\alpha}(\tau)| \ge \varepsilon.$

Вот тупо и подбирайте по каждому $\delta$ подходящие $t,\tau$ и $\alpha$, взяв $\varepsilon$ равным, скажем, одной второй (вообще чему угодно, меньшему единицы. Причём $t$ подбирать, собственно, не нужно -- и так ясно, что единица сгодится, и даже $\tau$ не нужно -- ясно, что достаточно взять $\tau=1-\delta$. И остаётся лишь выбрать альфу по дельте.

Dosaev в сообщении #794324 писал(а):

Но Oleg Zubelevich уже сказал, что можно применить в этой задаче.

Да напрасно он это сказал. Эта задачка -- явно на непосредственное определение равностепенной непрерывности, а не на следствие из неё.

[Dosaev]

ewert в сообщении #794335 писал(а):

Да напрасно он это сказал. Эта задачка -- явно на непосредственное определение равностепенной непрерывности, а не на следствие из неё.

Мне тоже так кажется, но зато он указал "плохую" последовательность $t^{\frac{1}{n}}$. То есть в качестве $\alpha_n$ можно взять $\frac{1}{n}$, да и в качестве $\tau$ тоже $\frac{1}{n}$. Тогда $\exists n_0 \in \mathbb N: ~$\forall \delta > 0 ~\exists N = max\{[\frac{1}{\delta}] + 1, n_0\}: ~ \forall n > N \hookrightarrow ~\frac{1}{n}^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{2} = \varepsilon_0.$
то есть воспользовался тем, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1.$
Можно так, или как-то можно упростить?

[ewert]

Как-то можно: если тупо взять $t=0,\ \tau=\delta$ и $\varepsilon=\frac12$, то тогда достаточно выбрать $\delta^{\alpha}-0^{\alpha}>\frac12\ \Leftrightarrow\ \alpha<-\frac{\ln2}{\ln\delta}.$

(я в предыдущем сообщении зачем-то нолик с единичкой перепутал; т.е. сначала написал правильно, но потом с какого-то перепугу решил как бы исправить, а напрасно)

[Dosaev]

ewert в сообщении #794354 писал(а):

то тогда достаточно выбрать $\delta^{\alpha}-0^{\alpha}>\frac12\ \Leftrightarrow\ \alpha<-\frac{\ln2}{\ln\delta}.$

$\alpha$ из $(0;1].$ Тут еще надо с дельтами повозиться.
Ну ладно, идея ясна, спасибо вам!