Вязкая жидкост на вращающейся пластине

[tobemyassassin]

Добрый день! Первый раз на форуме - не судите меня строго! )

Возникли проблемы при решении задачи по мсс(ж).

Задача

На горизонтальной твердой плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ , расположен слой вязкой жидкости плотности $\rho$ и с коэффициентом кинематической вязкости $\nu$. Ось z во вращающейся системе координат xyz, жестко связанной с плоскостью, направлена вертикально вверх. Сила тяжести g направлена вертикально вниз. Твердая плоскость расположена при $z = - H$. Верхняя граница представляет собой свободную поверхность, к которой приложено нормальное напряжение, линейно зависящее от y: $p_{nz} = ay+c$. Найти поле скоростей u, v. (указание: написать уравнение движения с учетом силы Кориолиса и искать их решения, зависящие только от z.

Записал уравнения Навье-Стокса во вращающейся системе координат. Получил следующее:

$d\vec{v}/dt = -1/\rho\nabla{p} - 2\vec{\omega}\times\vec{v} -\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) +\vec{f} + \nu\Delta\vec{v} $
$div\vec{v} = 0$
Получил следующее: (при условии, что $\vec{\omega}=(0, 0, \omega), \vec{v} = (u(z), v(z), 0), \vec{r} = (x,y,z))$

$0=-{p_{x}}/\rho + 2v\omega - x\omega^2 + \nu{u_{zz}}$
$0=-{p_{y}}/\rho + 2u\omega - y\omega^2 + \nu{v_{zz}}$
$0=-{p_{z}}/\rho -g$

Знаю, что на нижней границе нужно написать условие прилипания(скорость жидкости внизу равна скорости пластины).

Не знаю, как написать условие на свободной поверхности и решить систему, потому что там x и y появились.

Осталось решить только эту задачу. Помогите пожалуйста!

[tobemyassassin]

up
В граничном условии надо использовать данное напряжение.
Есть ли какие идеи у кого-нибудь?

[Oleg Zubelevich]

tobemyassassin в сообщении #793691 писал(а):

искать их решения, зависящие только от z

что-то странное

[nikvic]

Вот это место непонятно:

tobemyassassin в сообщении #793691 писал(а):

Верхняя граница представляет собой свободную поверхность, к которой приложено нормальное напряжение, линейно зависящее от y: $p_{nz} = ay+c$.

Уж больно странное "корыто" давления сверху... А когда ордината сильно отрицательна?

[tobemyassassin]

Вот сама задача и ответ к ней (7.29)

[tobemyassassin]

Из третьего уравнения системы находим, что p = - $\rho gz+C$

С другой стороны
Вектор напряжений вычисляется по формуле
$\vec{p_n} = P<\vec{n}>$

$P = -pI + 2\mu D$, где D - тензор скоростей деформации, p - непонятно какое давление, $\mu = \nu \rho$ - вязкость

Так вот, я посчитал вектор напряжений:
$\vec{p_n} = (\mu u_z, \mu v_z, -p)$

По условию $p_{nz} = C + ay$. Следовательно $-p = C + ay$. Как бы получил давление зависящее от z с одной стороны, а с другой от y. Где тут прокол? Я запутался где какое давление.

Также остаются сомнения в системе, потому что там все зависит только от z и вылазит x и y.

Может быть давление стоит "суммировать" $p=-\rho gz - C - ay$? И также непонятно как решать дифур!?

[tobemyassassin]

up

больше ничего не выходит

может появились у кого идеи? Осталось мало времени...

[nikvic]

А проверить решение удаётся?

[Утундрий]

А можно ссылку на книжку?

[tobemyassassin]

Цитата:

А проверить решение удаётся?

Начальным условия удовлетворяет, это понятно. Я писал, что сомневаюсь в правильности нахождения давления и составления дифура. Также вопрос чему равно $p_x$ и $ p_y$?

Да, вот тут можно ее скачать. Файл n1.pdf - наш задачник, там есть краткий курс теории

http://nashaucheba.ru/v37394/%D1%80%D1%8F%D0%B1%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%B2.%D0%BF.,_%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D1%83%D1%82_%D0%B5.%D0%B0._%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B5

[Утундрий]

Спасибо, интересные задачи.

[tobemyassassin]

up

есть идеи?

может не обязательно во вращательную систему координат переходить?