2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:18 
Доказать, что подпространство $X$ пространства $C[a,b]$, состоящее из всех непрерывных функций $f(x)$, удовлетворяющих неравенству $A\leq f(x)\leq B$, где $A, B$ - заданные числа, является полным метрическим пространством.

Я доказал что произвольная фундаментальная последовательность сходится, но вот не придумаю как доказать что сходится к элементу из подпространства.

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:20 
Аватара пользователя
А к чему она может сходиться? К разрывной функции? Или непрерывной, но не удовлетворяющей доп. условию? Вот и опровергните обе возможности.

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:22 
Понятно что из-за равномерной сходимости получится непрерывная функция, но вот как быть с условиями ограниченности?

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:24 
В неравенстве к пределу переходить можно?

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:30 
А, блин, тут действительно просто предельный переход в неравенстве, а я начал тут придумывать. Спасибо.

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:31 
Slow в сообщении #793954 писал(а):
Доказать, что подпространство $X$ пространства $C[a,b]$

начать с того, что $X$ не подпространство

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:34 
Почему же не подпространство?

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 22:52 
Подпространство.
Как линейное нормированное было бы не подпространство.

(Оффтоп)

Правда, скажу я Вам, пока Вы не написали метрику, речи о метрических пространствах вести не полагается. Так что ответы - в предположении, что метрика задана, и притом стандартная для пространства непрерывных функций.

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 23:01 
А, ну метрика реализовывается как $\rho(x,y)=\max|x(t)-y(t)|$

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 23:02 
Ну и хорошо.

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение28.11.2013, 23:11 
Slow в сообщении #793954 писал(а):
Я доказал что произвольная фундаментальная последовательность сходится

зачем было так страдать? полнота $C[a,b]$ -- факт стандартный. и еще: замкнутое подмножество полного метрического пространства полно

 
 
 
 Re: Доказательство полноты
Сообщение29.11.2013, 00:20 
Аватара пользователя
Значит, все равно надо замкнутость доказывать. То на то и выйдет.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group