Доказательство полноты

[Slow]

Доказать, что подпространство $X$ пространства $C[a,b]$, состоящее из всех непрерывных функций $f(x)$, удовлетворяющих неравенству $A\leq f(x)\leq B$, где $A, B$ - заданные числа, является полным метрическим пространством.

Я доказал что произвольная фундаментальная последовательность сходится, но вот не придумаю как доказать что сходится к элементу из подпространства.

[provincialka]

А к чему она может сходиться? К разрывной функции? Или непрерывной, но не удовлетворяющей доп. условию? Вот и опровергните обе возможности.

[Slow]

Понятно что из-за равномерной сходимости получится непрерывная функция, но вот как быть с условиями ограниченности?

[Otta]

В неравенстве к пределу переходить можно?

[Slow]

А, блин, тут действительно просто предельный переход в неравенстве, а я начал тут придумывать. Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

Slow в сообщении #793954 писал(а):

Доказать, что подпространство $X$ пространства $C[a,b]$

начать с того, что $X$ не подпространство

[Slow]

Почему же не подпространство?

[Otta]

Подпространство.
Как линейное нормированное было бы не подпространство.

(Оффтоп)

Правда, скажу я Вам, пока Вы не написали метрику, речи о метрических пространствах вести не полагается. Так что ответы - в предположении, что метрика задана, и притом стандартная для пространства непрерывных функций.

[Slow]

А, ну метрика реализовывается как $\rho(x,y)=\max|x(t)-y(t)|$

[Otta]

Ну и хорошо.

[Oleg Zubelevich]

Slow в сообщении #793954 писал(а):

Я доказал что произвольная фундаментальная последовательность сходится

зачем было так страдать? полнота $C[a,b]$ -- факт стандартный. и еще: замкнутое подмножество полного метрического пространства полно

[provincialka]

Значит, все равно надо замкнутость доказывать. То на то и выйдет.