Экстремум при ограничениях.

[mr.tumkan]

1) $f(x,y,z)=3x+5y+z\to\max$

При $x,y,z\ge 0; \;\; x+2y+z\le 10$

2) Найти наибольшее значение функции $z(x,y)=x^2y^2$

При ограничениях: $x^2+2y^2\leqslant 2;\;\;\;x\geqslant 0,25;\;\;\;x\geqslant \dfrac{1}{6}$

Как к таким задачам подходить -- с чего начать, где можно найти подобные, что лучше подходить?

(частные производные хорошо знаю). Но тут ограничения в виде неравенств... Потому -- не знаю -- что делать...

[mihailm]

Ну в первом теория не помешает. Линейная функция заданная на многограннике (или полиэдре, терминологию надо уточнить) обязательно достигает максимум (минимум) в вершине, вот и проверяйте по очереди все четыре

[svv]

mr.tumkan в сообщении #793370 писал(а):

$x\geqslant 0,25;\;\;\;x\geqslant \dfrac{1}{6}$

Уточните, пожалуйста.

[mr.tumkan]

svv в сообщении #793406 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #793370 писал(а):

$x\geqslant 0,25;\;\;\;x\geqslant \dfrac{1}{6}$

Уточните, пожалуйста.

Спасибо, точно!

2) Найти наибольшее значение функции $z(x,y)=x^2y^2$

При ограничениях: $x^2+2y^2\leqslant 2;\;\;\;x\geqslant 0,25;\;\;\;y\geqslant \dfrac{1}{6}$

-- 27.11.2013, 20:24 --

mihailm в сообщении #793374 писал(а):

Ну в первом теория не помешает. Линейная функция заданная на многограннике (или полиэдре, терминологию надо уточнить) обязательно достигает максимум (минимум) в вершине, вот и проверяйте по очереди все четыре

Спасибо!

Вершины

$A(0;0;0)\;\;\;f(A)=0$

$B(10;0;0)\;\;\;f(B)=30$

$C(0;5;0)\;\;\;f(C)=25$

$D(0;0;10)\;\;\;f(D)=10$

Ответ $f_{\max}(10;0;0)=30$

P.S. А без этого тайного знания не обойтись?! А в второй задаче есть ли какие-то подобные фишки?

[forexx]

Ответ:$z(1,\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}$

[mr.tumkan]

forexx в сообщении #793567 писал(а):

Ответ:$z(1,\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}$

А как такой ответ получить...?)

[provincialka]

Наибольшее значение функция может иметь либо во внутренней точке области, либо на границе.
В первом случае это локальный экстремум, но проверять на экстремум не обязательно.
Во втором случае неравенства превращаются в равенства, а задача - в задачу на условный экстремум. Только надо рассматривать все равенства по одному. А потом по два. И по три.

Собственно, тот же метод можно применить и в первой задаче. Только все первые этапы не дадут критических точек. Останутся только случаи трех неравенств (точки, вершины многогранника).

Кстати, там, похоже, опечатка:

mr.tumkan в сообщении #793370 писал(а):

$x\geqslant 0,25;\;\;\;x\geqslant \dfrac{1}{6}$

Последнее неравенство следует из предпоследнего.