Sonic86, т.е. остаток от деления
![$x^2$ $x^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6177db6fc70d94fdb9dbe1907695fce682.png)
на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
равен либо
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, либо
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
?
P/S/ Просто мне эта форма записи не привычна.
У меня тоже был похожий способ решения, только способ у меня был несколько по-проще, но он занял бы больше времени, чем предложенный Вами способ.
Вот моё решение:
1. Многочлен
![$a^2+b^2+c^2$ $a^2+b^2+c^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/4/13465edbe55e178f059b4761124dacdf82.png)
в результате даст чётное число, т.к.
![$512$ $512$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/7/697041510f2efeb0beeca11e8b8175ac82.png)
- чётное число, а сумма всех чётных чисел - чётное число (т.к. при
![$n=2k$ $n=2k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/8/5d8c0068642471e99c42369c0ec0423282.png)
и
![$m=2t$ $m=2t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62b3ce38d90c47ab045cd0d52e53c63382.png)
- чётных числах,
![$n \pm m=2k\pm2t=2(k \pm t)$ $n \pm m=2k\pm2t=2(k \pm t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/d/f1de1cb500a3bdc53490dc4e2421f0b382.png)
, и
![$2(k \pm t)$ $2(k \pm t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/7/44738ec82c4974b37907491bed9740a682.png)
- чётное число), значит мы можем представить этот многочлен в виде
![$a^2+b^2+c^2=2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2$ $a^2+b^2+c^2=2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/0/100826910b74584ee74fa1f5b95a186482.png)
.
2. Уравнение примет вид:
![$2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2=256$ $2a_1^2+2b_1^2+2c_1^2=256$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/f/59fb371f8ae6cb78dca4bd283595412d82.png)
Делим каждый раз уравнение на 2:
![$a_1^2+b_1^2+c_1^2=128$ $a_1^2+b_1^2+c_1^2=128$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/2/4d2b7a658cb69481d8437dedb78b7e0d82.png)
![$\frac{a_1^2}{2}+\frac{b_1^2}{2}+\frac{c_1^2}{2}=64$ $\frac{a_1^2}{2}+\frac{b_1^2}{2}+\frac{c_1^2}{2}=64$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/a/cfa9f0768f1f3fae8af916d35987c10d82.png)
![$\frac{a_1^2}{4}+\frac{b_1^2}{4}+\frac{c_1^2}{4}=32$ $\frac{a_1^2}{4}+\frac{b_1^2}{4}+\frac{c_1^2}{4}=32$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/4/3c4deb1f23191b285bfeab7c4b1e302782.png)
![$\frac{a_1^2}{8}+\frac{b_1^2}{8}+\frac{c_1^2}{8}=16$ $\frac{a_1^2}{8}+\frac{b_1^2}{8}+\frac{c_1^2}{8}=16$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/0/d20cb7e37216338c531ab33ce9f48bdd82.png)
![$\frac{a_1^2}{16}+\frac{b_1^2}{16}+\frac{c_1^2}{16}=8$ $\frac{a_1^2}{16}+\frac{b_1^2}{16}+\frac{c_1^2}{16}=8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/d/cdd85259982fbaea5062fb90de8a503882.png)
![$\frac{a_1^2}{32}+\frac{b_1^2}{32}+\frac{c_1^2}{32}=4$ $\frac{a_1^2}{32}+\frac{b_1^2}{32}+\frac{c_1^2}{32}=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/8/068cb46f501f35a812b72438224eb58182.png)
![$\frac{a_1^2}{64}+\frac{b_1^2}{64}+\frac{c_1^2}{64}=2$ $\frac{a_1^2}{64}+\frac{b_1^2}{64}+\frac{c_1^2}{64}=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/a/fca2dffd7f3c778b58230b8341309ce682.png)
![$\frac{a^2}{32}+\frac{b^2}{32}+\frac{c^2}{32}=4$ $\frac{a^2}{32}+\frac{b^2}{32}+\frac{c^2}{32}=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c5706c68e892a1e5c7775498b24754bf82.png)
Т.к. при
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
натуральных числах,
![$4=1^2+1^2+1^2+1^2$ $4=1^2+1^2+1^2+1^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/b/72b44396e20396e1c7f00faedb6f11e582.png)
, переменных в уравнении -
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, а
![$\sqrt{32}$ $\sqrt{32}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/a/95a0a5b508de96ca6ffc3b660051673a82.png)
- иррациональное число, значит не существует решений уравнения
![$a^2+b^2+c^2=2^9$ $a^2+b^2+c^2=2^9$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/3/d538a31aad22c8ea7acd08125c26ec7482.png)
в натуральных числах.