Куб

[teddybrooks]

Можно ли трехмерный куб покрыть четыремя кубами меньшего размера?

[melnikoff]

Вычитание любого меньшего куба из данного большого куба не уменьшает диаметр последнего ($d=\sqrt{3}a$, $a$-сторона большого куба). То есть при вычитании получаем новое множество $A_1\subset \mathbb{R}^3$ того же диаметра.
Вычитание из множества $A_1$ любого меньшего куба опять не уменьшает диаметр уже множества $A_2$.
Вычитание из множества $A_2$ любого меньшего куба опять не уменьшает диаметр уже множества $A_3$.
Остается один маленький куб диаметр которого по определению меньше диаметра большого куба.
Покрытие не возможно.

Я бред написал.

[Nemiroff]

Ну а чего? Берем вершину, каждую грань, которой принадлежит данная вершина, покрываем одним кубом. Остаток покрываем ещё одним.

-- Ср ноя 27, 2013 11:31:33 --

Да и вообще для любой размерности должно быть верно.

[Sonic86]

Nemiroff в сообщении #793283 писал(а):

Ну а чего? Берем вершину, каждую грань, которой принадлежит данная вершина, покрываем одним кубом. Остаток покрываем ещё одним.

Ааа, я не понял. Для начала: граней $12$ и одну грань мы не можем покрыть одним кубом - надо хотя бы $2$. Итого, надо $12\cdot 2=24$ куба, а у нас их всего $4$.
Мне кажется, что покрыть нельзя, вот только доказать это нормально я не могу.
Я смотрел 2 варианта:
а) располагать меньшие кубы в углах большого. Но вершин $8$, а меньших кубов - $4$, значит так меньших кубов не хватит;
б) у нас $8$ вершин, значит меньшие кубы должны покрывать минимум по 2 вершины. Можно поставить меньшие кубы "на диагональ" и покрыть каждую пару ими - но тогда все равно не хватит объема - центры граней останутся непокрыты.
Остальное все неконструктивно.

[melnikoff]

Sonic86 в сообщении #793462 писал(а):

Ааа, я не понял. Для начала: граней $12$ и одну грань мы не можем покрыть одним кубом - надо хотя бы $2$

Почему не можем? Можем. Если рассмотреть "маленький" куб достаточно больших размеров, то найдется сечение этого куба, которое является квадратом со стороной большей, чем сторона "большого" куба.
Сначала думал, легче доказать более сильное утверждение. Что нельзя покрыть куб четырьмя шарами с радиусом $\frac {\sqrt{3}}{2}a-\varepsilon$ каждый. Однако при достаточно больших радиусах куб покрывается уже двумя шарами...

[Sonic86]

melnikoff в сообщении #793517 писал(а):

Почему не можем? Можем. Если рассмотреть "маленький" куб достаточно больших размеров, то найдется сечение этого куба, которое является квадратом с большей стороной, "большой" куб.

Ладно, да.

[Nemiroff]

Sonic86 в сообщении #793462 писал(а):

Мне кажется, что покрыть нельзя, вот только доказать это нормально я не могу

Да можно. Ну так же, как квадрат покрыть тремя меньшими.

Покрывается целиком грань, прилежащая к какой-то вершине. И, между прочим, граней 6, а не 12.

-- Ср ноя 27, 2013 23:13:03 --

Ну хорошо, для какой-то там строгости стоит доказать, что в единичный куб размерности $n$ вписывается единичный куб размерности $n-1$, причем вписывается не в сам куб, а в куб за вычетом его поверхности.
Но для $n=3$ это и так очевидно.

[Sonic86]

А! Я понял!
Я напишу явно, поскольку я ни одного приведенного текста не понял, но идею у Вас взял:
Ставим 1 меньший куб "в угол" - он покрывает бОльшую часть куба, исключая "уголка", сочлененного из $n$ граней с общей вершиной. Остается покрыть каждую из $n$ граней оставшимися $n$ кубами, как Вы пишите - немного повернуть каждый куб на все углы и тогда грань "влезет" внутрь.
Спасибо