поверхностный интеграл 2 рода

[germ9c]

$\int_{C} (y^2 -z^2) dx +(z^2 -x^2)dy +(x^2 - y^2)dz$
С- сечение куба
$0\le x \le a$
$0\le y \le a$
$0\le z \le a$
плоскостью
$x+y+z= 3a/2$
пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох
мои догадки:
по формуле Стокса получим
$\iint(-2x-2y)dxdy+(-2z-2x)dzdx+(-2y-2z)dydz$=$\iint_{S} AndS$
где n- вектор нормали
$n= \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3a}}(\frac{2}{3a};\frac{2}{3a};\frac{2}{3a})$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\iint_{S}-4(x+y+z) \frac{1}{\sqrt{3}} dS$
т.к $x+y+z= 3a/2$ , то получим
$-6a\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{3}} dS$
а дальше как?
чему равна площадь S
как должен выглядеть рисунок

[gris]

Сечение легко нарисовать. Оно проходит через одну заметную точку внутри куба и шесть заметных точек на рёбрах.

[provincialka]

А зачем было сводить поверхностный интеграл к первому роду? Там в каждом из трех слагаемых только по две переменные! Три одинаковых слагаемых (с точностью до перестановки координат).
3$\iint(-2x-2y)dxdy$, где интегрирование идет по области, заданной неравенствами $0\le x\le a$, $0\le y=0\le a$, $0\le a/2-x-y\le a$

[germ9c]

provincialka
извините, но а если решать , как я, то дальше нужно знать чему равна площадь сечения? и получим в итоге ответ $-6a \frac{1}{\sqrt{3}} S$, где S=...
и если я все правильно сделал, то чему равна площадь

[provincialka]

А вы учли то, что подсказал gris? Там получается вполне красивая фигура. Найдите точки ее пересечения с ребрами. Например, если $x=a,y=0$, чему равно $z$?

[svv]

Вам надо аккуратно сделать рисунок и увидеть, что сечение состоит из 6 конгруэнтных равносторонних треугольников. Все вершины всех этих треугольников — заметные точки grisа, их координаты не то что легко вычисляются, а просто очевидны. и координаты не нужны.

[provincialka]

Зачем? Это просто правильный шестиугольник, проходящий через середины некоторых ребер.

[svv]

Точно!

[germ9c]

germ9c в сообщении #793489 писал(а):

$\int_{C} (y^2 -z^2) dx +(z^2 -x^2)dy +(x^2 - y^2)dz$
С- сечение куба
$0\le x \le a$
$0\le y \le a$
$0\le z \le a$
плоскостью
$x+y+z= 3a/2$
пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох
мои догадки:
по формуле Стокса получим
$\iint(-2x-2y)dxdy+(-2z-2x)dzdx+(-2y-2z)dydz$=$\iint_{S} AndS$
где n- вектор нормали
$n= \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3a}}(\frac{2}{3a};\frac{2}{3a};\frac{2}{3a})$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\iint_{S}-4(x+y+z) \frac{1}{\sqrt{3}} dS$
т.к $x+y+z= 3a/2$ , то получим
$-6a\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{3}} dS$

дальше
$-6a\iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1+1^2 +1^2}$ $=-6a \iint_{S_xy}dxdy = -6a \frac{3\sqrt{3} a^2}{2} =-9\sqrt{3} a^3$
так должно получиться?

[provincialka]

А последний интеграл по какой области берется? Откуда там $\sqrt3$? Если это проекция сечения на основание, там получается квадрат с отрезанными углами.