Равностепенная непрерывность

[Dosaev]

Будет ли равностепенным следующее множество

$S = \{x \in C[0,1] | ~\exists a \in (0;1] : \forall t \in [0,1] \longrightarrow x(t) = t^a\}?$

Определение. Пусть $(T, \rho)$ - компактное метрическое пространство.
Множество $S \subset C(T) $ называется равностепенно непрерывным, если $\forall \varepsilon ~ \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: ~ \forall t, \tau \in T$ таких, что $\rho(t,\tau)<\delta$ и $~ \forall x \in S$ выполнено неравенство $|x(t) - x(\tau)| < \varepsilon.$

В нашем случае:

$T = [0,1], \rho(x,y) = |x-y|.$
Пробую доказать, что наше множество S удовлетворяет этому определению.
Беру $0 < \delta < 1.$ (для $\delta > 1$все выполнено так $t, \tau \in [0,1]$. Из неравенства $|t- \tau | < \delta$ следует $t < \tau + \delta$, поэтому
$|t^a - {\tau}^a| < |(\tau + \delta)^a - {\tau}^a| \le |(\tau + \delta)^a| = {\delta}^a(1+\frac{\tau}{\delta})^a \simeq {\delta}^a(1 + a\frac{\tau}{\delta}) = {\delta}^a + a\tau {\delta}^{a-1} \le {\delta}^a + {\delta}^{a-1} \le 2{\delta}^{a-1}$.
Последнее неравенство выполнено в силу $a \le 1, \tau \le 1.$
Дальше нужно каким-то образом избавиться от a, но у меня не получается.

[Oleg Zubelevich]

рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно. А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):

рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно.

Эта последовательность сходится к 1 при $n \to \infty$ поточечно. Но это последовательность равностепенная?

[Oleg Zubelevich]

Dosaev в сообщении #793433 писал(а):

Эта последовательность сходится к 1 при $n \to \infty$ поточечно.

считайте лучше

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #793434 писал(а):

считайте лучше

$t^0$ не равно 1?

Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):

А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.

Но представима ли она как $t^a, a \in (0;1]?$

[Oleg Zubelevich]

к чему сходится указанная последовательность в точке $t=0$?

[Dosaev]

Oleg Zubelevich в сообщении #793441 писал(а):

к чему сходится указанная последовательность в точке $t=0$?

К нулю (как стационарная). Ну и для других $t \in (0,1]$ (я тут посмотрел определение поточечной сходимости) получается что это последовательность поточечно сходится к нулю, если подобрать соответствующий номер, зависящий от эпсилон и t?

-- Ср ноя 27, 2013 17:22:52 --

Просто я пока не уловлю, почему мы рассматриваем такую последовательность.

[Oleg Zubelevich]

Dosaev в сообщении #793444 писал(а):

(я тут посмотрел определение поточечной сходимости) получается что это последовательность поточечно сходится к нулю, если подобрать соответствующий

это неверно, ну еще посмотрите определение

-- Ср ноя 27, 2013 17:23:59 --

Dosaev в сообщении #793444 писал(а):

Просто я пока не уловлю, почему мы рассматриваем такую последовательность.

мы доказываем, что множество $S$ не является равностепенным

[Dosaev]

Ни к нулю, ни к единице... Не буду гадать, признаюсь: понятий не имею
Вообще, я больше склонялся к тому, что это последовательность сходится поточечно к единице и для меня это как-то было очевидно, так как $a^{\frac{1}{n}} \to 1 (n \to \infty)$ при фиксированном $a$. Но эта очевидность, видать, сыграла со мной злою шутку, поэтому я теперь в недоразумении...

[Oleg Zubelevich]

Ну можно конечно еще проще:
для любого $\xi\in (0,1]$ найдется номер $N$ такой, что для всех $n>N$ верно неравенство $|x_n(0)-x_n(\xi)|>1/2$.

[provincialka]

Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.

[Dosaev]

provincialka в сообщении #793484 писал(а):

Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.

Ну да, я согласен с вами, например если взять ${\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \to 1 ~(n \to \infty)$. а Oleg Zubelevich, написал похоже отрицание равномерной непрерывности?

[provincialka]

Dosaev в сообщении #793570 писал(а):

а Oleg Zubelevich, написал похоже отрицание равномерной непрерывности?

. Пусть сам скажет. Если я правильно поняла, здесь были предложены по-крайней мере два пути решения: исходя из определения, и с использованием свойств. Берите любое!

-- 27.11.2013, 23:16 --

provincialka в сообщении #793484 писал(а):

Dosaev, а почему предел должен быть равен константе? Ясно, что $a^0=1$ при $a>0$. Но $0^0$ это неопределенность.

Я имела в виду, что $1/n\to 0$, поэтому пределом последовательности функций $a^{1/n}$ будет функция, равная $0$ в нуле и $1$ в остальных точках. Она какая? Непрерывная?

[Dosaev]

provincialka в сообщении #793484 писал(а):

Я имела в виду, что $1/n\to 0$, поэтому пределом последовательности функций $a^{1/n}$ будет функция, равная $0$ в нуле и $1$ в остальных точках. Она какая? Непрерывная?

Нет, разрывная (разрыв первого рода в нуле). Только я все равно тут не вижу связи с равностепенной непрерывностью. У нас же она должна быть из S? А она не из S.

[provincialka]

Именно, не является. Сравните сэтим:

Oleg Zubelevich в сообщении #793429 писал(а):

рассмотрите последовательность $x_n(t)=t^{1/n}$. Если равностепенная последовательность функций сходится поточечно, то она сходится равномерно. А если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция тоже непрерывна.

У вас это выполняется?