Разложение в ряд неявной функции

[Ward]

Здравствуйте!

Переменный $x$ и $y$ связаны соотношением $y^2-x^3+yx^2+y^3=0$. Найдите из этого соотношения первые 3 ненулевых члена разложения $y$ как функции от $x$ в окрестности начала координат.

Моя попытка решения: Пусть $y(x)=a_0+a_1x+o(x)$ и получаем, что:

$$a_0^2+2a_0a_1x+a_1x^2+o(x^2)+a_0x^2+a_0^3+3a_0^2a_1x+3a_1^2a_0x^2=0$$

В частности отсюда получаем, что: $a_0^2+a_0^3=0$, но отсюда следует, что $a_0=0$ либо $a_0=-1$? Какое из них выбрать? Неоднозначность какая-то.

[Sonic86]

График пробовали строить? Является ли $y=y(x)$ функцией? Что нужно сделать чтобы...?

[provincialka]

Ward в сообщении #792890 писал(а):

Неоднозначность какая-то.

Что делать. Это свойственно неявным функциям. В предыдущей задаче тоже было два решения, только одно явно не подходило.

-- 26.11.2013, 15:01 --

Ward в сообщении #792890 писал(а):

в окрестности начала координат.

А в начале координат $y$, а, следовательно, и $a_0$ чему равен?

-- 26.11.2013, 15:03 --

Нарисовала график соотношения. В начале координат явная особенность, касательная вертикальна, а в самой точке угол (размера 0).

[SpBTimes]

Ward
Изучите классификацию особых точек кривых.

[Ward]

provincialka
Значит берем $a_0$ равным нулю? Я тоже нарисовал график и увидел, что там в нуле излом и проходит еще через -1.

[provincialka]

Я в своём графике не уверена, делала наспех. Мне показалось, что там касательная вертикальна. Или это ошибка?
я пока на занятиях до шести, вечером, если будет еще актуально, подключусь.

[Ward]

Я сначала нарисовал руками да еще на компе нарисовал. Вроде так получается http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y%5E2-x%5E3%2Byx%5E2%2By%5E3%3D0

-- 26.11.2013, 17:59 --

Если напишем $y(x)=a_1x+a_2x^2+o(x^2)$ и подставим это в соотношение и обнулив коэффициенты пр степенях $x$ мы получаем, что: $a_1=0$ и $2a_1a_2-1+a_1+a_1^3=0$, но подставив первое во второе получаем, что $-1=0$. Что делать?

[provincialka]

А, понятно, у меня $x$ и $y$ перепутались. Значит, в нуле сходятся две ветки, причем с общей касательной. Разница начинается в лучшем случае с квадрата. Но $a_0$, конечно, надо положить равным 0, так как это прямо указано в условии задачи.

-- 26.11.2013, 19:25 --

Раз в нуле сходятся две ветки, то и решений должно быть два. У меня пока даже не получается показать, что $a_1=0$. Наверное, придется подключить "тяжелую артиллерию", параметризовать уравнение. Например, положив $y=tx$. Значения $t>0$ и $t<0$ дадут две ветви решения.

-- 26.11.2013, 19:31 --

Похоже, что в окрестности 0 $y\sim \pm x\sqrt x$. Тогда разложения не получится, корень не является гладким в 0.
Потому у вас и получалось противоречие: степень этой функции ни 1 и ни 2, а полтора.

[Ward]

Задача вроде простая учебная, а решается какими-то тяжелыми и непонятными методами для меня первокурсника.

[provincialka]

Ну почему, такая параметризация. применяется и для декартова листа и есть в Демидовиче.

[Sonic86]

Ward в сообщении #793018 писал(а):

Задача вроде простая учебная, а решается какими-то тяжелыми и непонятными методами для меня первокурсника.

Нормальная задача, обычный матанализ: поняли форму кривой, потом используем метод неопределенных коэффициентов + куча вычислений.

Ward в сообщении #792966 писал(а):

Я сначала нарисовал руками да еще на компе нарисовал. Вроде так получается http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... By%5E3%3D0

Тооочно, значит там $y\sim x^{\alpha}$ при $x\to 0, \alpha>1$ - вот его надо сначала выяснить. Потому у Вас из предположения

Ward в сообщении #792966 писал(а):

Если напишем $y(x)=a_1x+a_2x^2+o(x^2)$

следовало противоречие Вот только не знаю, как доказать, что эквивалентность именно такая, потому скажу, что очевидно А потом еще надо члены разложения угадать, м.б. там ряд Маклорена от $\sqrt[3]{x}$ (или от $\sqrt{x}$)?

Можно после выяснения $\alpha$ заменить $x=u^{\text{знаменатель}(\alpha)}$ и искать разложение уже гладкой в нуле функции, а потом вернутся обратно к $x$. Но это, конечно, кустарный шаманизм, хотя правильный ответ можно найти.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Мои высказывания все игнорируются...

[Sonic86]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #793049 писал(а):

Мои высказывания все игнорируются...

Да нет, я понял, что я чего-то не знаю. Сижу вот и книжку ищу с этой темой

upd: вот нагуглил вот тут ссылку на книгу
Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1974.
Это нормально? Или легче есть?

upd2: ага, нагуглил Погорелова и Рашевского по дифференциальной геометрии. Там есть этот вопрос. Спасибо!

upd3: но там надо еще суметь задать кривую параметрически. Это тоже надо уже уметь

[Ward]

provincialka в сообщении #792998 писал(а):

Похоже, что в окрестности 0 $y\sim \pm x\sqrt x$. Тогда разложения не получится, корень не является гладким в 0.
Потому у вас и получалось противоречие: степень этой функции ни 1 и ни 2, а полтора.

А откуда это Вы получили то, что в окрестности нуля $y\sim \pm x^{3/2}$. Откуда такая степень? И почему еще два знака?
Никак не могу понять.

-- 26.11.2013, 21:50 --

provincialka в сообщении #793021 писал(а):

Ну почему, такая параметризация. применяется и для декартова листа и есть в Демидовиче.

В демидовиче в задачнике? Я что-то не нашел. Пожалуйста можете указать страницу. Честно говоря не особо понял как такие задачи делаются. Хочется понять

[SpBTimes]

Sonic86
Ну, задавать кривую параметрически обычно умеют :)