Почему сходится ряд, который должен расходиться?

[memo23]

Помогите понять.
Необходимое условие сходимости ряда звучит так: если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда.
Тогда ряд
$\sum(-1)^n\cdot((n^2/(2n^2+1)))$
должен расходится, т.к. предел его k-ого члена равен 0,5.
Сумма ряда посчитанная в mathcad равна 0,128 (для 20 и 10000 первых членов).
Где неправильно у меня? Почему он сходится?

[Sonic86]

Нечетное число членов брать не пробовали?
Постройте график частичных сумм, если так затрудняетесь.

[profrotter]

Интересно, а для 21 первых членов что получится?

[ewert]

memo23 в сообщении #792754 писал(а):

Сумма ряда посчитанная в mathcad равна 0,128 (для 20 и 10000 первых членов).

Если рассматривать только суммы определённой чётности (например, только с чётным количеством слагаемых), то те слагаемые группируются попарно, и сгруппированные пары образуют уже сходящийся ряд.

[fedd]

В данной сумме все зависит от четности-нечетности $n$. Если $n$ нечетно, то сумма стремится к $-0,63631...$. Если же $n$ четно, то сумма стремится к $0,363985...$. Да и если вы график построите, то он будет иметь вид бесконечной пилы.

[provincialka]

Люди! Дайте ТС самому подумать. Достаточно было одного коммента, зачем же разжевывать.

[Aritaborian]

ewert в сообщении #792771 писал(а):

Если рассматривать только суммы определённой чётности (например, только с чётным количеством слагаемых)

fedd в сообщении #792776 писал(а):

Если $n$ нечетно, то сумма стремится к $-0,63631...$

А я получил другое число.

Table[N[Sum[(-1)^n (n^2/(2 n^2 + 1)), {n, 0, i}], 12], {i, {11, 101, 1001, 1001}}]
{-0.370957936366, -0.371882210743, -0.371894217917, -0.371894217917}

[Sonic86]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #792777 писал(а):

Люди! Дайте ТС самому подумать. Достаточно было одного коммента, зачем же разжевывать.

Ну легкая задача просто.
Вот кому охота ломать моск об это например?

[memo23]

Всем спасибо. все понятно. Думал, что если ряд сходится к какому либо числу (к двум числам при четных- нечетных n), то он сходящийся должен быть...

[provincialka]

Нет, "сходится" - значит, есть предел частичных сумм, а предел всегда один.

[fedd]

Aritaborian в сообщении #792778 писал(а):

А я получил другое число.

Table[N[Sum[(-1)^n (n^2/(2 n^2 + 1)), {n, 0, i}], 12], {i, {11, 101, 1001, 1001}}]
{-0.370957936366, -0.371882210743, -0.371894217917, -0.371894217917}

Ищите у себя ошибку. Доказательство:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... +100003%29

[fedd]

Я извиняюсь, не написал в знаменателе двойку

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... ..10001%29

[bot]

Зачем путать парня? Ряд расходится в классическом смысле. В каком смысле mathcad считает - у программы спросить надо.

[Aritaborian]

bot в сообщении #793006 писал(а):

В каком смысле mathcad считает - у программы спросить надо.

memo23 (в Маткаде) и я (в Mathematica) считали частичные суммы, и софт выдавал чистую правду, так что, не передёргивайте. А что касается сходимости ряда, так Mathematica справедливо утверждает, что он расходится. Чего там говорит богомерзкий Маткад, не знаю, не за тем компом сижу.