Найти предел

[vlitomsk]

$$\lim_{x \to +\infty} x \left(\sqrt{x^2+2x} - 2\sqrt{x^2+x} + x \right)$$

Вот такой предел. Правильный ответ - (-0.25). Решил при помощи вынесения x за скобки, замены 1/x на t и домножения на сопряженные. Но почему-то через эквивалентности не получается, подскажите пожалуйста, где я допустил ошибку?

$$\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \sqrt{1+\frac{2}{x}} - 2\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1 \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \left( \sqrt{1+2t} - 2\sqrt{1+t} + 1 \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \left( \sqrt{e^{2t}} - 2\sqrt{e^t} + 1\right) =$$

$$= \lim_{t \to 0} \left( {\frac{\sqrt{e^t} - 1}{t}} \right)^2$$

После домножаем дробь на сопряженное к числителю. Т.к. $e^t - 1 \sim t$, получаем $0.5^2=0.25$. Не могу понять, куда пропадает знак, и, вообще, справедливы ли переходы на втором знаке равенства?

P.S. Лопиталя еще не доказали

[bot]

Научите как линейные функции под радикалами превращать в экспоненты.

Разбейте выражение в скобках в исходнике в сумму двух - в каждом по радикалу и подходящей константе линейной функции.

[iifat]

Подозреваю, просто недостаточно (в данном случае) точности эквивалентности (не говоря уж о том, что если всё равно приходится домножать на сопряжённое, выбранная эквивалентность просто не подходит, в смысле, не облегчает задачу).
Попробуйте $(1+x)^n=1+\frac n{1!}x+\frac {n(n-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}x^i+O(x^{i+1})$. Не знаю, до какой степени надо раскрыть, думаю, до второй хватит.

[provincialka]

iifat в сообщении #792024 писал(а):

Не знаю, до какой степени надо раскрыть, думаю, до второй хватит.

Конечно, до второй, перед скобкой-то $x^2$

[bot]

Этот номер в Демидовиче стоит в начальных разделах - задолго до появления производных и тем более формулы Тейлора.

[svv]

Решение с использованием минимальных средств см. в «Антидемидовиче», том 1, пример 165 (стр. 75-76).

[iifat]

bot в сообщении #792035 писал(а):

задолго до появления производных и тем более формулы Тейлора

Я уж и не помню, что в каком порядке стоит. Возможно, вы правы; возможно, таки обобщение бинома Ньютона вводится и доказывается и без производных. Не помню.

[vlitomsk]

Спасибо за ответы!
Получается, через эквивалентности тут просто так не решается.
bot, разбил, но тут опять придется через сопряженные делать.
iifat, как-то мимолетом нам сказали пару слов про связку степенные ряды+О-символика+пределы, не подскажете, где почитать про это?

Чем нужно руководстоваться, чтобы узнать, что в одном случае эквивалентность применима, а в другом - нет? С этим разобрался

[provincialka]

vlitomsk в сообщении #792065 писал(а):

Чем нужно руководствоваться, чтобы узнать, что в одном случае эквивалентность применима, а в другом - нет?

Сомножители всегда можно заменять на эквивалентные (в числителе и знаменателе). Слагаемые - не всегда. Примерное правило такое: нельзя заменять на эквивалентные в сумме/разности, если в результате получается 0 (главные части сокращаются).

[iifat]

vlitomsk в сообщении #792065 писал(а):

степенные ряды+О-символика+пределы, не подскажете, где почитать про это?

Насколько я понимаю, любая книга по математическому анализу. И нет, конкретнее не подскажу.

vlitomsk в сообщении #792065 писал(а):

Получается, через эквивалентности тут просто так не решается.

Не решается через конкретные эквивалентности. Дело в том, что, например, $e^x=1+x+O(x^2)$ (как понимаю, O-символика вам в общих чертах знакома?), а оценить вам предлагается как раз $O(x^2)$, то бишь, надо подбирать более точные эквивалентности — с точностью $O(x^3)$

-- 24.11.2013, 22:35 --

provincialka в сообщении #792032 писал(а):

Конечно, до второй, перед скобкой-то $x^2$

И правда что.

provincialka в сообщении #792070 писал(а):

Примерное правило такое: нельзя заменять на эквивалентные в сумме/разности, если в результате получается 0 (главные части сокращаются).

Особенно в данном случае, когда сокращаются как главные части, так и первого порядка малости.

-- 24.11.2013, 22:37 --

Возможно, стоит принять как примерное правило вообще не заменять на эквивалентности в сумме/разности. Скажем, есть ли до производных и рядов Тэйлора хоть какая-нить оценка $e^x-1-x$? $x-\sin x$?

[VPro]

$$\lim_{x \to +\infty} x \left(\sqrt{x^2+2x} - 2\sqrt{x^2+x} + x \right)=$$

$$=\lim_{x \to +\infty} x \left(\sqrt{x^2+2x} - \sqrt{x^2+x} + x- \sqrt{x^2+x} \right)=$$

$$=\lim_{x \to +\infty} x \left( \frac1{ \sqrt{1+2/x} + \sqrt{1+1/x}} - \frac1{ 1+ \sqrt{1+1/x}} \right)=$$

$$=\lim_{x \to +\infty} x \frac{1-\sqrt{1+2/x}} {\left( \sqrt{1+2/x} + \sqrt{1+1/x}\right)\left( 1+ \sqrt{1+1/x} \right)}=-\frac14$$

[iifat]

Ну да, домножением на сопряжённые решается, ТС в первом же топике про это сказал.

[provincialka]

На самом деле в скобках стоит вторая разность функции $\sqrt t$ в точке $t=x^2$ при приращении $x$.

[fedd]

Вы получили на втором этапе (см. первый пост)

$\lim \limits_{t \to 0} \frac{ \left( \sqrt{1+2t} - 2\sqrt{1+t} + 1 \right)}{t^2}$

Если применить в числителе эквивалентные бесконечно малые, то получим ноль. Это верный признак того, что следует либо применять формулу Тейлора, либо правило Лопиталя. Дважды пролопиталив, легко найдем $-\frac 14$

[bot]

fedd в сообщении #792374 писал(а):

Если применить в числителе эквивалентные бесконечно малые

А как? К каждому слагаемому? Это не есть камильфо и они все эквивалентны константе.
Я предлагал слегка иначе, чем VPro, но суть та же - дальше дважды сопрягаем.