Решение СЛАУ методом обратной матрицы

[BENEDIKT]

Необходимо решить систему уравнений методом обратной матрицы:

$\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=8\\ -2x_1+3x_2-2x_3=-5\\ 3x_1-4x_2+5x_3=10 \end{cases}$
Задание несложное, но не могу получить верный ответ. Непонятно, что я делаю неверно.

Представим систему в виде матриц:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -4 & 5 \end{pmatrix} $; $X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$; $B=\begin{pmatrix} 8\\ -5\\ 10 \end{pmatrix}$

$AX=B$

$X=\frac{B}{A}=A^{-1}B$

Найдём определитель матрицы:

$\det (A)=1(-1)^2 7-2 (-1)^3 14 +3(-1)^4 (-7)=14$

Очевидно, матрица невырожденная и $A^{-1}$ существует.

$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A_{pr}$, где

$A_{pr}$ - присоединённая матрица.
Найдём присоединённую матрицу:
$A_{pr}=\begin{pmatrix} 7 & -14 & -7\\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 10 & 7 \end{pmatrix}$
Тогда имеем:
$X=\frac{1}{14} \begin{pmatrix} 7 & -14 & -7\\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 10 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8\\ -5 \\ 10 \end{pmatrix}=\frac{1}{14} \begin{pmatrix} 56\\ 22 \\ 12 \end{pmatrix}$
Этот ответ неверен.

[mihailm]

Подставьте

[Xaositect]

По-моему, ответ верный. Вы, видимо, где-то запутались при подстановке в исходное уравнение.

[arseniiv]

BENEDIKT в сообщении #791795 писал(а):

$X=\frac{B}{A}=A^{-1}B$

Серединку вы зря написали. Во-первых, она лишняя, а во-вторых, не очень-то корректная. Так как умножение матриц некоммутативно, есть два разных деления, которые аргументам $(B, A)$ сопоставляют результаты $A^{-1}B$ и $BA^{-1}$. В таких случаях записью $\frac{\cdots}{\cdots}$ пользоваться бессмысленно (желающие сэкономить на обозначении обратного элемента пишут иногда $A/B$ и $A\backslash B$ или ещё как-то, но это неизбегаемо только тогда, когда рассматривается алгебраическая система, где не у всякого элемента есть обратный; умножение на обратный элемент, по-моему, всегда выглядит прозрачнее).

[Евгений Машеров]

Подставил. Всё правильно. Как Вы подставляли?

[BENEDIKT]

Благодарю всех за ответы и разъяснения. Меня смутил ответ в учебнике: $(1; 2; 3)$ и я даже не проверил свой. Теперь я немного запутался. В учебнике указано, что при определителе системы, не равном нулю, система имеет единственное решение (определяемое также по формуле Крамера). В данном случае имеют место, как минимум, два решения. Как это объяснить?

[provincialka]

А вы то, учебниковое, решение проверили? Может, там опечатка? Двух решения и правда быть не может.
Второе уравнение для "учебника" не выполняется. Может, там справа было $-2$?

[BENEDIKT]

provincialka в сообщении #791829 писал(а):

Может, там справа было $-2$?

Нет, $-5$. Возможно, действительно опечатка.

-- Сб ноя 23, 2013 22:01:07 --

arseniiv
Благодарю за разъяснения. В учебнике равенство $X=A^{-1}B$ тоже выведено иначе. Пардон за невнимательность.

[Евгений Машеров]

Двух решений не бывает. Бывает 1, 0 или $\infty$
Для ненулевого определителя, для нулевого с ненулевой правой частью или для нулевого с нулевой.
А вот две разные опечатки возможны, в условии задачи или в ответе. И, поскольку авторы учебников иногда проникаются жалостью к студентам, слегка упрощая их работу (ну и свою немного), делая, чтобы ответ был "красивым" (природа в реальных задачах не столь любезна, и не избавляет нас от дробей с многозначными числителями и знаменателями, иррациональных корней и прочих досадных сложностей), то я счёл бы, что (1, 2, 3) это и был ответ, а опечатка в условии.

[bot]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #791946 писал(а):

А вот две разные опечатки возможны, в условии заачи или в ответе

А ещё - в слове задачи.