О особенностях метрики, меры в топологических пространствах

[yafkin]

Для прояснения сущности вопроса потребуется проследить детали преобразования отрезка линии в так называемую пыль Кантора
Метрика отрезка 1
Исходное значение меры-длина отрезка
Исползуем общеизвестный процесс деления отрезка на нечетное число частей, для простоты на 3 части
После первого шага деления отрезка мы получаем три подмножества , входящие в состав исходного, образованного первоначальным отрезком
Удаляя среднюю часть отрезка мы тем самым уменьшаем значение меры на одну треть
Таким образом при кахдом шаге мера уменьшается на одну третью часть от своей величины и явно стремится к нулю в пределе , обеспечивая нулевую фрактальную размерность.
Можно не удаляя среднюю часть просто удалять граничные точки этого отрезка В этом случае значение меры и метрики не меняется
Если вспомнить классику (Н Бурбаки Общая тополоия Введение), то там предлагается вообще не использовать понятие числа
Подмнохества точек отрезка образованные после деления отрезка на три части имеют ту же мощность, что и исходный отрезок
Сколько раз не проводили бы мы деление исходного отрезка все равно в результате получается подмножество мощности и метрики совпадающей с мощностью и метрикой исходного отрезка
При этом, пересечение всей последовательности множеств упорядоченно по вложению и не пусто - получился фильтр
При каждом шаге количество фильтров удваивается (или утраивается) И множество их при бесконечном числе шагов будет счетно
Пределом фильтров и будет пыль Кантора.

Как обосновать существование предела с учетом того, что мощность множества точек отрезка -несчетна?
Каким образом исчезли точки образующие разницу между мощностью отрезка и мощностью счетного множества ? и появилось дополнение множества Кантора?
Как исчезла метрика?

[Утундрий]

лжно быть.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: непонятная и малосодержательная формулировка вопроса

yafkin
Сформулируйте вопрос целиком и осмысленно. Пока неясно, при чем тут создание множества, хотите ли Вы узнать обоснование или его нужность для чего-то, неясно,чья мера имеется ввиду.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Стёр левый текст, убрал капслок и вернул. Возможно, то что сейчас написано, имеет какой-то смысл.

[Azog]

1. Пыль Кантора это что, множество Кантора так хитро обозванное?
2. Не нужно вообще смешивать мощность множества и его меру. Тут имеется ровно одна импликация: не более чем счетность, влечет за собой нулевую меру. Про континуальные множества никаких таких утверждений нет.
3. У меня возникает ощущение, что в Вашем малосвязном тексте есть желание услышать некое философское обоснование того, что несчётное множество может иметь меру нуль. Если так - то я пасую.
4. Бурбаки для изучения чего-либо - фу.

[popolznev]

Azog в сообщении #791757 писал(а):

1. Пыль Кантора это что, множество Кантора так хитро обозванное?

А вы впервые встречаете такое название? По-моему, оно довольно часто попадается.

По остальным пунктам + + +.

[yafkin]

Azog в сообщении #791757 писал(а):
Не нужно вообще смешивать мощность множества и его меру.

Вот именно-ненужно.
Мера мне здесь нужна чтобы показать, что в данном случае фрактальная размерность получается разной в зависимости от способа получения множества Кантора (если Вам не нравится пыль) ,а в остальном ее можно и не вводить
Вопрос заключается в том, что при том методе получения множетва Кантора ,которое я несвязно изложил по причине желания сократить общеизвестное описание ,у меня получается счетное множество Кантора -а это ересь

Я спрашиваю - куда делись точки из исходного, мощности континиума, отрезка?

Операции с кардинальными числами вроде как-бы еще не придумали

РS. А философией ,если захочется, займемся в другом месте они вообще не знают критерия истины