Шесть попарно различных чисел

[Ktina]

При каких натуральных $n$ из чисел

$$n,\quad n+1,\quad n+2,\quad\dots\quad n^2$$

можно выбрать шесть попарно различных чисел $a, b, c, d, e, f,$ для которых справедливо равенство $ab=cd=ef$?

[Andrey A]

Для n=4:\ 4\cdot 15=5\cdot12=6\cdot10
Для n\geq 5$ находится k=\left \lceil \frac{\sqrt{4n+1}-1}{2} \right \rceil, для которого верно n\leq k(k+1)<(k+2)(k+3)<n^2.
Выбираем a=k(k+1), b=(k+2)(k+3), c=k(k+2), d=(k+1)(k+3), e=k(k+3), f=(k+1)(k+2).
Ясно, что a<c,d,e,f<b. Первое неравенство можно проверить без скобочек "потолок", а граничные случаи - вручную.

[Ktina]

Andrey A
Не понимаю, зачем какие-то корни
При $n\geqslant 5$ имеем

$$n(4n+4)=2n(2n+2)=4n(n+1)$$

При $n=4$, как Вы сказали.
При $n=3$ у нас всего 7 чисел, но числа 7 и 5 не могут участвовать, так как кроме них самих, на них ничего не делится -- противоречие.

[Shadow]

Ktina в сообщении #791975 писал(а):

Не понимаю, зачем какие-то корни

А возьмите $k=n-3$ и корней не будет. Попарные произведения чисел $n,n-1,n-2,n-3$.
Попытки половинками и четвертинками включить в общее решение $n=4$ не получилось.

[Andrey A]

Ну, можно сказать: попарные произведения четырех последовательных чисел, наименьшее из которых (произведение) правее $n-1$. Тогда вообще без формул можно обойтись аки Диофант. Да мало-ли решений...