эквивалентность прямой и плоскости

[vladal]

Объясните, пожалуйста, как даказывается их эквивалентность. Если чередованием разрядов координат, например, пару x=abc.def и y=ghi.jkl отображаем в число z=agbhci.djekfl, то во что отображаются точки с координатами (x,-y), (-x,y) и (-x,-y) для взаимно однозначного соответствия?

[Dan_Te]

Видимо, под эквивалентностью имеется в виду равномощность.

От всяких неприятностей с минусами легко избавиться, если доказать, что плоскость первому квадранту, а прямая равномощна положительной полуоси.

А вообще, у нас на функане это доказывалось так: мощность и прямой, и плоскости равна мощности множества {0,1}^N бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Прямая равномощна отрезку, для точки отрезка берем ее разложение по основанию 2, и получаем беск. последовательность. Плоскость равномощна единичному квадрату, каждую из координат х, у точки квадрата раскладываем в последовательность, и две последовательности сливаем в одну, чередуя координаты:
x = 1/3 \in [0,1],
x = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 0,0101010101... по основанию 2,
0,010101... -> (0,00000... ; 0,11111...) = (0,1) \in [0,1]^2
В последней строчке нечетные цифры после запятой составляют первое число из пары, а четные - второе.

[dm]

Dan_Te
Это не биекция. Обычно здесь рассуждают чуть аккуратнее.

[vladal]

Цитата:

Это не биекция.

А как все-таки построить взаимно ознозначное соответствие.

Цитата:

От всяких неприятностей с минусами легко избавиться, если доказать, что плоскость первому квадранту, а прямая равномощна положительной полуоси.

Это понятно, но как построить биекцию?

[dm]

Обычно чередуют не цифры, а некоторые блоки цифр.

[Dan_Te]

dm писал(а):

Dan_Te
Это не биекция. Обычно здесь рассуждают чуть аккуратнее.

Конечно, надо еще выкинуть счетное число последовательностей (для отрезка, для плоскости похитрее).
Я же не точное доказательство расписывал, а идею и иллюстрацию =)