Предел последовательности

[provincialka]

(Оффтоп)

А, понятно! А у нас курс сокращенный, уже Лопиталя и Тейлора прошли, сегодня контрольную проверяла. Вот рефлекс и сработал. Ладно, кончаю оффтоп

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790861 писал(а):

Ладно, кончаю оффтоп

А я на минутку продолжу. У нас курс, видимо, примерно такой же, разве что я немножко торможу (ну и мои ассистенты, и я в их числе). Лопиталя я начитал только что (т.е. вчера), за Тейлора надеюсь зацепиться на следующей лекции (но в полном объёме -- вряд ли, сначала надо экстремумы и графики хоть немножко обсосать). Ну а на практике до Тейлора дело дойдёт, скорее всего, лишь недели через две. Затем -- уже интегралы.

[Ms-dos4]

ewert

(Оффтоп)

Да, всё очень просто получилось. А вот я как вижу пределы, обычно сразу стараюсь полопиталить (к собственному стыду)

[provincialka]

(2 ewert)

Ну что вы делаете! Мне же хочется ответить! У меня сейчас 1 курс "информационная безопасность", там в первом семестре лекции/практика 36/42 и заканчивать надо первообразными. Я ассистирую, а лектор ведет во второй группе. Она еще только начинает производные. А я, испугавшись цейтнота, тороплюсь. Правда, у меня ребятки неплохие, подходят на перемене, спрашивают пределы из Демидовича, которые я им на дом не задавала! В наше время это прямо чудо! Нам разрешили не ограничиваться 42 часами, вести занятия до конца семестра.

[ewert]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #790865 писал(а):

А вот я как вижу пределы, обычно сразу стараюсь полопиталить (к собственному стыду)

Нет, ну при чём тут стыд. Просто есть известный факт: в каких-то случаях Лопиталь помогает очень быстро, а каких-то -- ведёт в тупик (ну, скажем, в типа $\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+1}$. Просто надо помнить, что свет клином на Лопитале не сошёлся, несмотря на всю его прелесть.

-- Ср ноя 20, 2013 23:17:09 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790867 писал(а):

там в первом семестре лекции/практика 36/42

Вы жируете, однако. Откуда 42-то?...

provincialka в сообщении #790867 писал(а):

и заканчивать надо первообразными.

Всем надо. Правда, мои ассистенты мне говорят, что на практике нифига из этого не выйдет (у меня-то самого опыт несколько куций: практические занятия на эти темы, конечно, вёл, но в последний раз достаточно давно; а лекции по 1-му семестру читаю вообще впервые в жизни -- там разные дальнейшие разделы анализа читать доводилось неоднократно, но вот конкретно 1-й семестр читаю впервые).

Ну не выйдет -- и ладно. За что-нибудь из первообразных я точно на лекциях зацеплюсь. А дальше у нас есть такая не то что бы общепринятая, но достаточно распространённая практика: выдавать в конце семестра "переходящее" ИДЗ, и именно с его обсуждения практические занятия в следующем семестре и начинать. Это, может, и не шибко эстетично, но имеет по крайней мере одно достоинство: обеспечивает некоторый люфт на то начальное время, когда на лекциях ничего толком ещё и не начитано. Ну а насчёт первообразных (с точки зрения практики) дело облегчается ещё и тем, что по школе они с ними в массе своей хоть сколько-то, да знакомы.

provincialka в сообщении #790867 писал(а):

спрашивают пределы из Демидовича, которые я им на дом не задавала! В наше время это прямо чудо!

Да, это действительно чудо; завидую.

[dimanet]

Ms-dos4, может я совсем отупел, но не должно ли там получаться после обратной замены $\sqrt[x]{x} = 1-\frac{1}{x}\ln\frac{1}{x}$

provincialka, ну, если $a_n$ -- константа, пусть $a$, то пределом будет $\exp{a}$, но слева стоит бесконечно большая, значит и наша последовательность бесконечно большая. Я правильно рассуждаю? То есть, чтобы выполнялось равенство, наша последовательность должна быть порядка $n$?

ewert, получается так(?):

$$ \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{n+1}-1) = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{\ln(n+1)}\cdot\ln(n+1) = 1\cdot\lim_{n\to\infty}\ln(n+1) = \infty$$

[ewert]

dimanet в сообщении #790888 писал(а):

ewert, получается так(?):

$$ \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{n+1}-1) = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{\ln(n+1)}\cdot\ln(n+1) = 1\cdot\lim_{n\to\infty}\ln(n+1) = \infty$$

В принципе-то так, но записано настолько не приходя в сознание, что за решение принять это нельзя. Надо было знаменатель средней дроби переместить в знаменатель первой.

[dimanet]

ewert, просто уже поленился набирать. А "не приходя в сознание" -- это к написанию относится или нет?

[provincialka]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #790882 писал(а):

Вы жируете, однако. Откуда 42-то?...

На "основной" специальности, на прикладной математике у нас раньше было 4/4 в неделю, но, кажется, и это сократили. Я сейчас мало матан веду. А вообще пошла какая-то мода на "некратные" часы. Например, ТВиМС - 18/24 (или наоборот, 24/18 - не помню, я сама за собой веду).

-- 20.11.2013, 23:49 --

dimanet в сообщении #790888 писал(а):

То есть, чтобы выполнялось равенство, наша последовательность должна быть порядка $n$?

Не обязательно $n$, просто неограниченной. У вас же другим методом получилось $\ln n$.
Кстати, о записи. Вы разве не используете замену на эквивалентные? Я бы написала так:

$$ \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{n+1}-1) = \lim_{n\to\infty}n(e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)}-1) = \lim_{n\to\infty}n\cdot\frac1n\ln(n+1)=...$$

дальше ясно.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790895 писал(а):

На "основной" специальности, на прикладной математике у нас раньше было 4/4 в неделю,

4/4 -- это положено на весь стандартный первосеместровый курс математики у технарей (т.е. включая и АиГ, и матан). Вы хотите сказать, что у Вас именно эти общие часы практически уполовинили?... -- ну тогда это безусловный скандал, и я могу лишь посочувствовать. У нас хоть и тоже идёт яростная борьба за повышение математической культуры студентов (т.е. математику они должны учить как можно меньше -- от греха подальше), но проявляется она всё-таки лишь начиная со второго курса. Первый курс по расчасовкам всё-таки берегут. Во всяком случае, первый семестр. Со вторым, в основном, всё тоже нормально, кроме одного особо продвинутого факультета, который решил второй семестр урезать как раз вдвое.

Замечательно, что на этот факультет традиционно принимают наиболее слабых абитуриентов -- так исторически сложилось, хотя специальность как таковая требует примерно такой же математической подготовки, что и на остальных факультетах (если не считать отдельных специальных курсов). Ну, понять деканат можно: если, мол, наши студенты с самого начала в математике ни бум-бум -- так чего ж их и учить, да?...

[provincialka]

(2 ewert)

ewert в сообщении #790902 писал(а):

4/4 -- это положено на весь стандартный первосеместровый курс математики у технарей (т.е. включая и АиГ, и матан).

Нет, что вы, у нас все-таки математический факультет, хоть и не мехмат. Это только матан! Впрочем, в часы матана (4 семестра) входили еще элементы КП и функана, по крайней мере, интеграл Лебега. Теперь отделили в отдельные курсы, но матан урезали до 3 семестров.

[ewert]

dimanet в сообщении #790894 писал(а):

А "не приходя в сознание" -- это к написанию относится или нет?

Это выглядит бессознательным. В принципе, решение следует снабжать комментариями. Набивать которые, конечно, лень (это понятно); но тогда цепочки формулок следует выстраивать так, чтобы каждая следующая очевидно вытекала из другой общеизвестным способом. У Вас это не выдержано, и как результат -- с формальной точки зрения Ваша цепочка выглядит совершенно бессвязной. Ну отсутствует в ней (как таковой) логика как класс.

[Ms-dos4]

dimanet в сообщении #790888 писал(а):

Ms-dos4, может я совсем отупел, но не должно ли там получаться после обратной замены $\sqrt[x]{x} = 1-\frac{1}{x}\ln\frac{1}{x}$

Ну дык вы минус то в логарифм внесите.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790903 писал(а):

Теперь отделили в отдельные курсы, но матан урезали до 3 семестров.

Ну тут вопрос в суммарных часах. Если они не пострадали, то и слава богу. Во всяком случае, функан и даже Лебег в рамках основного курса матана и впрямь не очень уместны (а кто такая, кстати, КП? -- я знаю только одну: ту, которую не следует читать даже в трамвае)

[provincialka]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #790914 писал(а):

(а кто такая, кстати, КП? -- я знаю только одну: ту, которую не следует читать даже в трамвае)

У нас, видимо, разный круг знакомств. Я имею в виду ТФКП.
Так, а где модераторы? Тут заслуженные участники в оффтоп ударились, управы на них нет!