Помогите найти предел

[SlayZar]

Помогите, пожалуйста, (Лопиталем пользоваться нельзя)
$\lim\limits_{x\to1}(3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x})^\(\frac{1}{ln(x) sin(\pi x)}} = e^A$

Здесь неопределённость $1^\infty$
$A= \lim\limits_{x\to1}(\frac{3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x}-1}{ln(x) sin(\pi x)})}$
меняем x на t+1
$A= \lim\limits_{t\to0}(\frac{3 \sqrt[3]{t+1}-2 \sqrt {t+1}-1}{ln(t+1) sin(\pi (t+1))})} = $\lim\limits_{t\to0}(\frac{3 \sqrt[3]{t+1}-2 \sqrt {t+1}-1}{t sin(\pi (t+1))})}$
Получается неопределённость $\frac{0}{0}$. А вот дальше ничего не получается. Наверное надо избавиться от иррациональности в числителе но как это сделать когда там корни разной степени?
Помогите пожалуйста!

[provincialka]

А для чего вы вводили новую переменную? Чем вам старая не нравилась? Я догадываюсь, видимо, вы знаете некие эквивалентности, которые выполняются при $x\to 0$. Например, для синуса. Но ведь там важно, чтобы аргумент синуса стремился к 0, а не просто какая-то переменная. Вот и воспользуйтесь свойствами синуса (школьными), чтобы упростить выражение $\sin(\pi(t+1))$.

А вот в числителе лучше ввести другую замену, $x=u^6$. Правда, е вас будет две переменные в одном выражении. Ну и что! Сначала упростите его, а потом можно снова вернуться к $x$.

[alcoholist]

SlayZar в сообщении #790800 писал(а):

избавиться от иррациональностией в числителе

чему эквивалентна каждая иррациональность с точностью до $o(t^2)$?
и синус суммы

[provincialka]

Когда я говорю студентам "без правила Лопиталя", я имею в виду и "без формулы Тейлора", потому что это по сути одно и то же. Обычно я хочу, чтобы они научились главные части вычислять и формулами для эквивалентностей пользоваться. А здесь можно такими средствами обойтись.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790806 писал(а):

А для чего вы вводили новую переменную? Чем вам старая не нравилась?

Я от логарифма избавился по эквивалентности что ln(x+1)=x при x стр. к 0 , но я так понимаю, что здесь это не надо?!

заменил в числителе x на $u^6$ получил $-(u-1)^2 (2 u+1)$

В знаменателе $t \sin(\pi (t+1)) = - t (\sin (\pi t))$.

$- t (\sin (\pi t))$ мы же не можем упростить...

если вернуться к иксу то t сократится с одной из скобок числителя, но что делать с синусом?!

[provincialka]

SlayZar в сообщении #790892 писал(а):

Я от логарифма избавился по эквивалентности что $\ln(x+1)\sim x$ при $x\to 0$, но я так понимаю, что здесь это не надо?!

Надо. Это хорошо.
В произведении $-(u-1)^2(2u+1)$ к чему стремится последний множитель? И на что его можно заменить? А на что можно заменить $u-1$, если вернуться к $x$?

SlayZar в сообщении #790892 писал(а):

$- t (\sin (\pi t))$ мы же не можем упростить...

Прекрасно можем! Так же, как логарифм. Ведь аргумент $\pi t$ стремится к 0.
Кстати, ставьте перед знаком синуса бакслеш, а то некрасиво получается. и вообще я поправила в цитате ваши формулы, посмотрите.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790897 писал(а):

SlayZar в сообщении #790892 писал(а):

Я от логарифма избавился по эквивалентности что $\ln(x+1)\sim x$ при $x\to 0$, но я так понимаю, что здесь это не надо?!

Надо. Это хорошо.
В произведении $-(u-1)^2(2u+1)$ к чему стремится последний множитель? И на что его можно заменить? А на что можно заменить $u-1$, если вернуться к $x$?

SlayZar в сообщении #790892 писал(а):

$- t (\sin (\pi t))$ мы же не можем упростить...

Прекрасно можем! Так же, как логарифм. Ведь аргумент $\pi t$ стремится к 0.

Да, туплю совсем, спасибо!


$\frac{lim\limits_{u\to1}(-(u-1)^2 (2 u+1))}{lim\limits_{t\to0}(- t (\sin (\pi t))}$ = $\frac{lim\limits_{u\to1}(-3 (u-1)^2)}{lim\limits_{t\to0}(-\pi t^2))} = \lim\limits_{x\to1}(\frac{3 (x^6-1)^2}{\pi (x-1)^2})} = \lim\limits_{x\to1}(\frac{3 ((x^3-1) (x^3+1))^2}{\pi (x-1)^2})} = \lim\limits_{x\to1}(\frac{3 ((x^2+x+1)^2 (x^3+1)^2}{\pi })} = \frac{108}{\pi}$

но вольфрам говорит $\frac{1}{12 \pi}$ (( Где то ошибся(

[provincialka]

SlayZar в сообщении #790925 писал(а):

Где то ошибся(

в равенстве $u=x^6$. На самом деле $u = x^{1/6}$. Да, еще: не надо писать отношение пределов, у вас это неопределенность. Я бы вообще оформляла "по кускам".

-- 21.11.2013, 00:50 --

Например, так: $A= \lim\limits_{x\to1}\frac{3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x}-1}{\ln(x) \sin(\pi x)}$.
Преобразуем числитель: положив $x=u^6, u\to 1$ получим
$3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x}-1=3u^2-2u^3-1=-(u-1)^2(2u+1)\sim -3(u-1)^2=$$-3(x^{1/6}-1)^2\sim-3(\frac16(x-1))^2 =-\frac{1}{12}(x-1)^2$ при $\x\to 1$.

Аналогично преобразуем знаменатель.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790927 писал(а):

SlayZar в сообщении #790925 писал(а):

Где то ошибся(

в равенстве $u=x^6$. На самом деле $u = x^{1/6}$. Да, еще: не надо писать отношение пределов, у вас это неопределенность. Я бы вообще оформляла "по кускам".

-- 21.11.2013, 00:50 --

Например, так: $A= \lim\limits_{x\to1}\frac{3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x}-1}{\ln(x) \sin(\pi x)}$.
Преобразуем числитель: положив $x=u^6, u\to 1$ получим
$3 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt {x}-1=3u^2-2u^3-1=-(u-1)^2(2u+1)\sim -3(u-1)^2=$$-3(x^{1/6}-1)^2\sim-3(\frac16(x-1))^2 =-\frac{1}{12}(x-1)^2$ при $\x\to 1$.

Аналогично преобразуем знаменатель.

Да, понятно спасибо большое. Один момент только не уловил: почему мы можем так перейти?
$-3(x^{1/6}-1)^2\sim-3(\frac16(x-1))^2 $

[Sicker]

(Оффтоп)

да прибудет с вами Тейлор!

[provincialka]

Sicker в сообщении #790939 писал(а):

(Оффтоп)

да прибудет с вами Тейлор!

Куда прИбудет? Не поминайте товарища Тейлора всуе.

SlayZar в сообщении #790938 писал(а):

Один момент только не уловил: почему мы можем так перейти?
$-3(x^{1/6}-1)^2\sim-3(\frac16(x-1))^2 $

А у вас в табличке эквивалентностей разве нет такой: $x^a-1\sim a(x-1), x\to1$?

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790945 писал(а):

Sicker в сообщении #790939 писал(а):

(Оффтоп)

да прибудет с вами Тейлор!

Куда прИбудет? Не поминайте товарища Тейлора всуе.

SlayZar в сообщении #790938 писал(а):

Один момент только не уловил: почему мы можем так перейти?
$-3(x^{1/6}-1)^2\sim-3(\frac16(x-1))^2 $

А у вас в табличке эквивалентностей разве нет такой: $x^a-1\sim a(x-1), x\to1$?

Да, извиняюсь, не узнал просто, записана как $(1+x)^a-1 \sim ax, x\to0$, но это тоже самое) Большое спасибо за помощь)

[provincialka]

SlayZar в сообщении #790947 писал(а):

не узнал просто,

Я всегда студентам в двух вариантах записываю, и для степени, и для логарифма, в общем, там, где аргумент к 1 стремится.