Задачки от Лебедя

[arseniiv]

LebedKun в сообщении #790689 писал(а):

3. Составим и решим уравнение:
$x(x-1)(x-2)=24$

А теперь забудьте всё, что было потом, и вспомните, что уравнение-то в целых числах… Разложим-ка 24 на множители!

[provincialka]

Да просто подбором. $3\cdot 2\cdot1=6, 4\cdot3\cdot2=24$, дальше - больше.

[arseniiv]

По-моему, одинаковая сложность. Но зачем невовремя обобщать задачу до поиска вещественных корней уравнения — этого точно не знаю.

[LebedKun]

arseniiv, несколько целых корней (а то и натуральных) в уравнении? Не, не слышал...

Хотя, исходя из условия из задачи, результат решения один у задачи.

[gris]

А если количество вариантов будет $5677858286160$? Как тут подбором-то?
Кстати, легко заметить, что левая часть монотонно возрастает при $x>2$.

Насчёт единственности решения. Вот подобная задача. У художника было 6 разных красок. Для похода на этюды он решил взять столько, сколько у него карманов. Перебирая краски, он выяснил, что у него получается 15 различных наборов. Сколько красок художник взял с собой? Тут два решения.

[arseniiv]

LebedKun в сообщении #790751 писал(а):

arseniiv, несколько целых корней (а то и натуральных) в уравнении? Не, не слышал...

Вот вам уравнение с $n$ целыми корнями:

$$(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-n) = 0.$$

Аккуратнее!

-- Ср ноя 20, 2013 23:16:41 --

Или, хотите сказать, я этого не учёл в своём решении? Нет, учёл, просто лемма о рациональных корнях многочлена не была озвучена явно.

[LebedKun]

Цитата:

А если количество вариантов будет $5677858286160$

В некоторых случаях, когда решить уравнение не получается аналитическими методами, то лучше решать графическим способом, хотя результат будет уже неточным, приближённым.

А вообще на практике уравнения выше 3-ей степени очень редко используются (т.к. больше 3-х измерений в пространстве мы банально не можем ощутить).

[Munin]

LebedKun в сообщении #791117 писал(а):

А вообще на практике уравнения выше 3-ей степени очень редко используются (т.к. больше 3-х измерений в пространстве мы банально не можем ощутить).

Это только в античности и у древних арабов такое ограничение было. Математики не представляли себе величин отдельно от их геометрического смысла, и поэтому возводили их только в 1, 2 и 3 степень (иногда в 4 степень, которую называли "биквадрат" - квадрат от квадрата). Но в эпоху Возрождения в Европе развилась более абстрактная алгебра, начавшая изучать действия с числами в отрыве от их геометрического смысла, и разобралась сначала с кубическими уравнениями общего вида (а геометрически интерпретированные уравнения были не общего вида!), потом с уравнениями 4 степени, и поставила задачу решения уравнения произвольной степени. Продолжение истории - это уже Новое время, Галуа и комплексный анализ, и наконец, в 19 веке стали изучать пространства $n$ измерений и геометрически (подобравшись к ним с алгебраическими инструментами).

На практике очень часто встречается задача решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) большого порядка (от $n$ порядка десятков, до тысяч и миллионов), которая по сути аналогична задаче решения уравнения степени $n.$ Так что, ваше заявление далеко от истины.

[arseniiv]

Munin в сообщении #791138 писал(а):

На практике очень часто встречается задача решения СЛАУ <…> большого порядка (от $n$ порядка десятков, до тысяч и миллионов), которая по сути аналогична задаче решения уравнения степени $n.$

Чем аналогична?

[Munin]

Пытаюсь вспомнить. Что-то там про характеристический многочлен было.

[AndrewN]

Munin в сообщении #791216 писал(а):

Пытаюсь вспомнить. Что-то там про характеристический многочлен было.

Ага, и про вековое уравнение. Я уж сколько лет пытаюсь выяснить, что такое "вековое"... Без особого успеха.
Вот это

$$(A-\lambda I)x=0$$

здесь и сидит полином степени эн по лямбде...

[Munin]

AndrewN в сообщении #791257 писал(а):

Я уж сколько лет пытаюсь выяснить, что такое "вековое"... Без особого успеха.

Это, наверное, из небесной механики термин.

AndrewN в сообщении #791257 писал(а):

Вот это

$$(A-\lambda I)x=0$$

здесь и сидит полином степени эн по лямбде...

Да, всё-таки я перепутал две задачи, позор мне!

[LebedKun]

Как бы вы решили такую задачу: "Решите уравнение $a^2+b^2+c^2=2^9$ в натуральных числах"?

[Sonic86]

Рассмотрел бы $a^2+b^2+c^2$ по модулю $4$, поскольку следует помнить, что $x^2\equiv 1,0\pmod 4$.

[AndrewN]

Munin в сообщении #791563 писал(а):

я перепутал две задачи

А можно считать, что нужно решить $n$ однородных систем :)