Теперь, вероятно, надо будет перейти к доказательству с альтернативными условиями
Если уравнение (1) имеет решение в целых числах
(1)

то и следующее уравнение (2) в рекурсии (на шаге

) имеет решение в целых числах.
(2)

Небольшое исследование сформулированных условий (в предыдущем сообщении), представляется невозможным (имеется ввиду - их выполнение).
Пожалуй, следующий абзац покажется немного запутанным, но я попробую его сформулировать в оффтопике, а в тексте оставить результаты факторизации на рекурсивном шаге

, имеющем решение уравнения, а также на очередном шаге (

).
(Оффтоп)
Если рассматривать (1) как произведение сомножителей, один из которых

, то первый сомножитель

не следующем шаге рекурсии остается и добавляет (для нового куба

). Поэтому для завершения куба требуется дополнительный множитель 3. Второй множитель

может "генерировать" (добавлять) только 3, а не 9, чтобы завершить очередной куб

, т.к. имеет свободные (

.
Если "решение" основного уравнения

на шаге рекурсии

можно условно представить, как произведение множителей, представляющее куб:

Тогда следующее решение уравнения (созданное по рекурсии на шаге

) невозможно представить как

, т.к. его можно условно представить так

Если это так, т.е. все возможные варианты рассмотрены, то это облегчает движение к доказательству Случая 2 ВТФ по следующим причинам.
Ранее было доказано, что
1) из отсутствия решения основного уравнения на шаге рекурсии

c переменными (

) не следует наличие решения на следующем шаге рекурсии (

), для заданных чисел (

)
Для Случая 2.
Если в уравнении (1) или (2) сумма

не является целым числом в степени
(1)

(2)

то уравнение (1) и следующее уравнение (3) в рекурсии (на шаге

) не имеют решений в целых числах.
(3)

2) Здесь указана причина, почему не может следовать решение на следующем шаге рекурсии (

), при наличии его на предыдущем шаге

.
В связи с этим, полагаю надо перепроверить все. Возможно, что-то недоучтено. Но из этих двух выводов следует, что у основного уравнения ВТФ решения не может быть, т.к. гипотетическое решение не может возникнуть на каком-то шаге рекурсии, если ранее не было решения. А из наличия решения (на каком-то шаге), следует - далее не будет решений. Т.е. имеются противоречащие допущения и нарушение логики существования решения.