Меня в последнее время "бросили" на преподавание статистики самым разным специальностям. Но методического опыта пока не хватает.
Вот, например, объясняю я, как можно выбрать критическую область при проверке гипотезы. Рассказываю постепенно, чтобы студенты сами "дошли" до нужных идей.
Сначала предлагаю просто посчитать вероятность того исхода, который получился при построении выборки. Ну, например, бросили монету 10 раз, каждый исход имеет вероятность 1/1024. Ясно, что эта вероятность ни о чем не говорит, она получится и для 5 орлов, и для 10 решек.
Студенты, естественно, предлагают учитывать не порядок орлов/решек, а их количество. Я поддерживаю. Считаем по биномиальному закону вероятности. Вероятность 2 орлов мала. Значит, при выпадении 2 орлов гипотезу о правильной монете надо отвергнуть? Я привожу другой пример: если бросков 1000, то даже самый вероятный исход (500 орлов) имеет вероятность около 2,5%. Значит ли это, что при выпадании 500 орлов гипотезу
![$p = 0,5$ $p = 0,5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3c1a4389e9746619a64f858c1f4db4482.png)
надо отвергнуть? Ясно, нет. Значит, надо построить какое-то другое множество "маловероятных" исходов. Тут я предлагаю рассматривать множества вида
![$x\le k$ $x\le k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/2/be26778427024e50086e61ac1ff3896682.png)
, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- переменная, распределенная так же, как статистика (в данной задаче - число орлов). Это воспринимается нормально.
Но вот я перехожу к двусторонним гипотезам. Ведь если монета испорчена, мы заранее не знаем, в какую сторону может отклониться вероятность. Поэтому в качестве критической области естественно рассматривать двустороннюю область,
![$(x\le k)\vee (x\ge l)$ $(x\le k)\vee (x\ge l)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/5/a95ea0c43ddcffe34b3fa40cd6bbaed082.png)
. Нельзя сказать, что студенты противятся этой идее. Им на этой стадии все равно: вроде правдоподобно, препод сказал - ну и ладно. Но мне самой хотелось бы более глубоко обосновать идею.
В конце концов, если при бросании 10 монет выпало 2 орла, почему не рассмотреть в качестве p-value вероятность
![$\alpha = P(x\le 2)$ $\alpha = P(x\le 2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/b/00b2a2045869a7c5f0c70a31e905c6fa82.png)
? Почему надо учитывать еще и возможность больших значений
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и умножать
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
на 2?
Есть ли этому серьезная причина (ну, например, можно с глубокомысленным видом пробормотать что-нибудь про мощность критерия). Или это просто почему-то удобно? Или традиция такая?
Я понимаю, что выбор критической области - тема скользкая, вряд ли он может быть полностью обоснован. Но какие-то причины привести можно?