Потенциал элемента объёма с единичным зарядом

[PHT]

Каким способом лучше всего считать интегралы подобного типа:
$\[\int\limits_{z_i - \frac{{\Delta z_i }}{2}}^{z_i + \frac{{\Delta z_i }}{2}} {\int\limits_{\alpha _i - \frac{{\Delta \alpha _i }}{2}}^{\alpha _i + \frac{{\Delta \alpha _i }}{2}} {\int\limits_{\rho _i - \frac{{\Delta \rho _i }}{2}}^{\rho _i + \frac{{\Delta \rho _i }}{2}} {\frac{{\rho _N d\rho _N d\alpha _N dz_N }}{{\sqrt {\rho _N^2 + \rho _M^2 - 2\rho _N \rho _M \cos \left( {\alpha _M - \alpha _N } \right) + \left( {z_M - z_N } \right)^2 } }}} } } \]$ - это потенциал элемента объёма цилиндра с единичным зарядом.
Внутренний интеграл выражается аналитически через логарифмы и арктангенсы. Остальные интегралы приходится брать численно. Подскажите как это сделать наилучшим образом. Может где-то есть решение этой задачи?

[svv]

Если «дельты» очень малы по сравнению с $|MN|$, можно взять потенциал точечного заряда.

Можете немного посвятить в контекст? Идейный вопрос примерно такой: похоже, Вы всё равно будете суммировать вклады таких элементов объема в потенциал, а эта работа аналогична численному интегрированию. Так не лучше ли сразу отказаться от вывода громоздких формул и суммировать много, но зато легковычисляемых слагаемых, соответствующих совсем уже маленьким, почти точечным элементам?

[PHT]

svv в сообщении #790476 писал(а):

Так не лучше ли сразу отказаться от вывода громоздких формул и суммировать много, но зато легковычисляемых слагаемых, соответствующих совсем уже маленьким, почти точечным элементам?

Этого бы не хотелось. Поскольку я уже решал плоскую задачу. Расчётов проводить приходится довольно много. В плоской задаче в конечном итоге я отказался от численного интегрирования, т.к. получалось очень медленно, но там интегралы брались аналитически (хотя и весьма громоздко). А тут - задача трёхмерная. Мне бы хотелось применить наиболее быстрый способ расчёта этих интегралов.