Помогите найти предел

[SlayZar]

Помогите, пожалуйста, найти предел, не используя Лопиталя.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1+x+sin(x) cos(x)}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}}$
Может быть заменить x на 1/t, чтобы в дальнейшем использовать первый замечательный, но все равно никак не получается

[Cash]

Ну подставьте, например, $x=1000$. Надеюсь быстро поймете, что к чему.

[provincialka]

(Оффтоп)

Я представляю себе, как бы вы решали этот пример с помощью правила Лопиталя

[SlayZar]

Не можем ли мы при стремлении x к бесконечности пренебречь единецей в числителе, ведь тогда дроби сокращаются и наш предел становится равный
$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{e^\sin(1/x)}}$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{e^\((1/x)}}$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{e^0}}$ = 1

Ответ получается правильным, но решение по-моему все таки не правильно?!

[provincialka]

Правильное решение, если вы умеете это объяснять. Например, разделите величину $\frac{1+(x+\alpha)}{x+\alpha}$ на два слагаемых.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789877 писал(а):

Правильное решение, если вы умеете это объяснять. Например, разделите величину $\frac{1+(x+\alpha)}{x+\alpha}$ на два слагаемых.

$\frac{1+(x+\alpha)}{x+\alpha}$ = $1+\frac{1}{x+\alpha}$

То есть надо записать так?
$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1+x+sin(x) cos(x)}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}}$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}} + \frac{(x+sin(x) cos(x))}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}})$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}})$ + $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{e^\sin(1/x)}})$ =
=$\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+x cos(x)) e^\(1/x)}})$ + $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{e^\(1/x)}})$

Теперь осталось только доказать, что $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+x cos(x)) e^\(1/x)}})$ = 0, но ведь тут неопределённость и так просто не получится
или же необязательно так всё расписывать?

[provincialka]

А почему неопределенность? Кроме того, нельзя здесь заменять $\sin x$ на $x$. Это возможно только при $x\to 0$

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789890 писал(а):

А почему неопределенность? Кроме того, нельзя здесь заменять $\sin x$ на $x$. Это возможно только при $x\to 0$

Ой, да, ошибся.
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}})$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+\frac{sin(2x)}{2}) e^\sin(1/x)}})$ = $\lim\limits_{x\to+0}(\frac{1}{(\frac{1}{x}+\frac{sin(2/x)}{2}) e^\sin(x)}})$ = $\lim\limits_{x\to+0}(\frac{1}{(\frac{1}{x}+\frac{2}{2 x}) e^x}})$ = $\lim\limits_{x\to+0}(\frac{x}{2 e^x}})$ = $\frac{0}{2}$ = 0

Теперь вроде бы всё правильно! Я нигде не ошибся?

[provincialka]

Сложно. Заметьте, что $x-1\le x+\sin x\cos x \le x+1$. А сомножитель $e^{\sin \frac1x}$ можно сразу заменить на 1, к которой он и стремится.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789900 писал(а):

Сложно. Заметьте, что $x-1\le x+\sin x\cos x \le x+1$. А сомножитель $e^{\sin \frac1x}$ можно сразу заменить на 1, к которой он и стремится.

То есть вообще говоря можно всё записать так?
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+sin(x) cos(x)) e^\sin(1/x)}})$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{(x+sin(x) cos(x))}})$ = $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{x}})$ = 0


с оговоркой, что $\lim\limits_{x\to+\infty}(e^\sin(1/x)}})=1$, а $\left| sin(x)cos(x) \right|$ $\leqslant 1$

[provincialka]

Мне было бы достаточно.

[Aritaborian]

Это всё чудесно, но правильный ответ всё же $1$, а не $0$. Или это я чего-то не допонял, и вы перешли к решению другой задачи?

[bot]

(Оффтоп)

SlayZar в сообщении #789874 писал(а):

Не можем ли мы при стремлении $x$ к бесконечности пренебречь единицей в числителе ... ?

Если Вы знаете, что пренебрежение не изменит предела, потому что Вы много раз уже сводили это пренебрежение к известным свойствам предела.

SlayZar в сообщении #789874 писал(а):

Ответ получается правильным, но решение по-моему все таки не правильно?!

Отсюда ясно, что сведение пока Вам в новинку и ещё не надоело.

[provincialka]

Aritaborian другой. Мы единицу вычли.

[Aritaborian]

Проморгал ;-) Спасибо.