Ряд с параметром

[provincialka]

StrMth, не усложняйте. Вот неформальное рассуждение. Логарифм ведет себя практически как нулевая степень аргумента, он меньше любой положительной степени. Поэтому практически не влияет на сходимость. Если $\alpha > 1$, то сходится и без "нижнего" логарифма. Если $\alpha < 1$, то "нижний" логарифм сходимость не спасет. А вот если $\alpha = 1$, то ситуация неустойчива, и знаменатель может сильно повлиять на результат.

-- 12.11.2013, 22:05 --

StrMth в сообщении #787975 писал(а):

получается что-то такое: $(1/n-1/2n^2+o(1/n^2))/(n-(n^2)/2+o(n^2))$

Откуда такой знаменатель? Логарифм гораздо меньше.

[StrMth]

Тогда как-то так $\ln^\alpha \ch(1/n)/\ln^{2}(n+1)\leqslant 1/n^{2}^{\alpha} /n^{1/2}$

[provincialka]

Третий раз повторяю: надо разобрать три случая, в каждом рассуждение свое. И ответ свой. Доказательство сходимости отличается от доказательства расходимости. Только сделайте поправку: под $\alpha$ я имела в виду степень $n$ в знаменателе, у вас это $2\alpha$. И вообще, не используйте неравенства, лучше рассмотрите главную часть $a(n)$.

[StrMth]

При $2\alpha>1 $ $a(n)\sim(1/n)^{2\alpha+\beta}$, где $\beta \to 0$
При $2\alpha=1 $ $a(n)\sim(1/n)^{2}$ Соответственно ряд сходится при $2\alpha \geqslant 1 $
Про расходимость не понимаю пока как доказать

[provincialka]

Не надо, чтобы $\beta$ стремилось к чему-то. Оно вообще там не нужно. Напишите подходящее неравенство.
Второй случай непонятный. Откуда это? Здесь надо интегральный признак применять.
в третьем случае оцените логарифм подходящей степенью.

И вообще, посмотрите какой -нибудь решебник, не будем же мы сюда его переписывать.

-- 14.11.2013, 23:08 --

На самом деле ваш ряд - усложненный вариант ряда $\sum \frac{1}{n^p\ln^qn}$. Разберитесь с ним.

[StrMth]

Нет такого в решебниках , поэтому сюда и написал, тот ряд я делал уже

[StrMth]

Не подскажите какую замену можно сделать в интегральном признаке?

[provincialka]

Сам логарифм и взять. Впрочем, вы не написали, какой интеграл берете.

-- 17.11.2013, 16:17 --

StrMth в сообщении #789187 писал(а):

Нет такого в решебниках , поэтому сюда и написал, тот ряд я делал уже

Если тот ряд делали - в чем проблема? "Этот" сводите с помощью эквивалентности к "тому" и применяете готовое решение.

[StrMth]

интеграл от $1/(n^{2\alpha}\ln^{2}(n+1))$ Если в нем взять логафим за t , то останется в дифференциале в знаменателе $n+1$

[provincialka]

Интегральный признак нужен только для $2\alpha=1$, остальные случаи и так хорошо исследуются. И вообще, сводите все к более простому случаю.

[StrMth]

Да, это я описался, будет вот так $(n+1)t^2dt/n$, я бы и рад свести к более простому , но как

[provincialka]

Сразу разделайтесь со всем лишним по признаку сравнения $ \frac{\ln^\alpha \ch(1/n)}{\ln^{2}(n+1) }\sim \frac{1}{n^{2\alpha}\ln^2n}$. А такой ряд, как вы сказали, вы умеете исследовать.

[StrMth]

А это Вы сверху или снизу оценили , если по признаку сравнения ?

[provincialka]

Там какой знак стоит? Разве неравенство? Это эквивалентность. По предельному признаку.

[StrMth]

При подсчете интеграла выходит что он равен $-1/\ln(n)$