Доказать неравенство

[LyuboHr]

Доказать, что если $m,n \in N$, то выполняется неравенство:

$\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}}+\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}>1$

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Работа форума» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[arqady]

LyuboHr в сообщении #788904 писал(а):

Доказать, что если $m,n \in N$, то выполняется неравенство:

$\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}}+\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}>1$

Это AM-GM: $\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}}+\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}\geq\dfrac{n}{n-1+1+m}+\dfrac{m}{m-1+1+n}=1$.

[LyuboHr]

Михаэль Розенберг, спасибо за замечательное решение!

[TR63]

$n\ge m$, $n=am$. Из неравенства Бернулли получим:

$\sqrt[n]{m+1}\le{1+\frac1 a}$

$\sqrt[m]{n+1}=\sqrt[m]{am+1}\le {1+a}$

Раз верно усиленное, то верно и исходное неравенство.

[Shadow]

TR63 в сообщении #789216 писал(а):

Из неравенства Бернулли получим:

Если перевернем знак неравенства.

[Urnwestek]

Shadow в сообщении #789219 писал(а):

Если перевернем знак неравенства.

Что не так со знаком?

[TR63]

Shadow,
я не поняла реплики. Что-то не так? Это учебное неравенство. Из книжки переписала.

[Shadow]

TR63Правильно, я исключил мозг что степень меньше 1.

[TR63]

(Оффтоп)

Shadow,


если наличие мозга Вы исключили у меня (у Вас то он несомненно есть), то, действительно, как писал Бомарше: "Трудолюбив(а) по необходимости, ...".

[Shadow]

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #789254 писал(а):

если наличие мозга Вы исключили у меня

TR63, что Вы такое говорите. Просто когда я вчера увидел задачу, первое что в голову пришло - неравенство Бернулли...но там знак "не в ту сторону" и сразу отказался. Потому и увидел ошибку и Вас, а не у себя . Напоследок слишком часто общаюсь с дебилами, а это заразно.