Гармонические колебания (Зорич V.6.5)

[Urnwestek]

Покажите, что если закон движения $x=x(t)$ удовлетворяет уравнению $m\ddot{x}+kx=0$ гармонических колебаний, то:
a) величина $E = \frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$ постоянна
б) если $x(0)=0$ и $\dot{x}(0)=0$, то $x(t) \equiv 0$

С «а» всё понятно, достаточно продифференцировать и получить $\dot{x}(m\ddot{x}+kx) = 0$. Со вторым всё понятно когда $k \geqslant 0$ (сумма двух неотрицательных 0, значит каждое из неотрицательных — 0), но что если $k<0$?

[hjury]

Тогда у вас будут не гармонические колебания и вообще не колебания.

[мат-ламер]

$x(t) \equiv 0$ есть решение и притом единственное.

[Urnwestek]

hjury в сообщении #789244 писал(а):

Тогда у вас будут не гармонические колебания и вообще не колебания.

Ну оно-то понятно, просто в параграфе рассматривался случай отрицательного $k$ тоже. Ну окей, пусть тогда $k,m>0$, со следующей задачей:
c) существует и притом единственное движение $x=x(t)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ и $\dot{x}(0)=v_0$
такие же непонятки. (: Вывод $x(t)$ приводится в параграфе, так что доказательство существования не нужно, а вот как доказать, что если оно существует, то единственно?

Цитата:

и притом единственное.

Об этом и спрашивалось в задаче, как я понял. (:

[hjury]

Цитата:

Ну оно-то понятно, просто в параграфе рассматривался случай отрицательного $k$ тоже

Стало интересно, подскажите страничку.

[Urnwestek]

hjury в сообщении #789251 писал(а):

Стало интересно, подскажите страничку.

295, последний абзац.

[Urnwestek]

Задача:

Urnwestek в сообщении #789246 писал(а):

c) существует и притом единственное движение $x=x(t)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ и $\dot{x}(0)=v_0$
такие же непонятки. (: Вывод $x(t)$ приводится в параграфе, так что доказательство существования не нужно, а вот как доказать, что если оно существует, то единственно?

сводится к

Urnwestek в сообщении #789240 писал(а):

б) если $x(0)=0$ и $\dot{x}(0)=0$, то $x(t) \equiv 0$

Если предположить, что $x,y$ — два разных решения с одинаковыми начальными условиями, то $z=x-y$ — тоже решение, при этом $z_0 = 0, \dot{z}_0=0$. Ну что же, буду считать что действительно предполагалось $k>0$. Спасибо hjury и мат-ламер.

[Oleg Zubelevich]

Есть теорема существования и единственности дифференциальных уравнений. Доказательство единственности надо выдрать из нее.

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #789338 писал(а):

Есть теорема существования и единственности дифференциальных уравнений.

Не знал, спасибо, поищу. Но тут, наверное, предполагалось что можно доказать как-то с помощью палки и куска верёвки, без использования глубоких результатов в области дифуров. (: Хотя кто их знает...