Простой предел

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

$$\lim\limits_{ x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}}$$

Дошел до:

$$e^{ 3 \cdot \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x}}$$

Оно, наверное, дико просто, но у меня на ум кроме Лопиталя ничего не приходит, а им пользоваться нельзя. Подскажите, пожалуйста.

-- 15.11.2013, 23:39 --

provincialka, не очень Вас понял, но:

$$(x+1)^3 = x^3+3 x^2+3 x+1$$

и

$$\lim\limits_{x \to \infty} (1+x)^{\frac{3}{x}} = \lim\limts_{t \to \infty} t^{\frac{3}{t-1}}$$

[provincialka]

Для сравнения логарифма и многочлена в бесконечности нужен либо Лопиталь, либо неравенства. Например, Бернулли.

[Divergence]

а заменой переменной

[mihailm]

Divergence, прежде чем неверные ответы писать хотя бы на вольфрам-альфе проверяйте.
Limit79 это не дико просто)
Это несколько видоизмененный известный предел $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$

[Limit79]

Divergence
Ответ $1$, а ВЗП я так и не понял как тут применить (если это вообще возможно).

-- 15.11.2013, 23:48 --

provincialka
Вы говорили, что исходный легче, но я так и не понял чем, и что в нем делать

-- 15.11.2013, 23:51 --

Divergence в сообщении #789111 писал(а):

а заменой переменной

А какой именно?

-- 15.11.2013, 23:54 --

provincialka
Верно ли я Вас понял, что исходный пример решается либо по Лопиталю, либо с помощью неравенств, и никак иначе (проще)?

-- 15.11.2013, 23:56 --

mihailm в сообщении #789112 писал(а):

Limit79 это не дико просто)
Это несколько видоизмененный известный предел $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$

Но он доказывается только по Лопиталю, либо через неравенства?

[provincialka]

Да бог его знает... Можно, например, так. Обозначим $(1+x)^{1/x}=1+y$, тогда $(1+y)^x=1+x$. Если левую часть ограничить тремя первыми слагаемыми бинома, то можно решить полученное неравенство и показать, что $y$ стремится к 0.

[Limit79]

provincialka
Буду разбираться, спасибо за помощь!

[ewert]

Просто прологарифмируйте. Надеюсь, то, что $\frac{\ln n}n\to0$, уже известно. Т.е. к этому примеру оно уже должно быть известно, иначе задачка выглядит как-то странно. Если всё же нет, то докажите по индукции, что $\dfrac{y}{2^y}\to0$.