Случайные величины

[Realite]

Здравствуйте, недавно начал изучать теор. вер. и столкнулся со следующей задачей, является ли величина $X^2$ случайной величиной, если $X$ - случайная величина. И наоборот. С первой частью задачи я справился, возникла проблема со второй и, к сожалению, даже нет догадок как решать. Надеюсь на дельные советы.

[provincialka]

А какая у вас гипотеза: является или не является? Приведите определение или его отрицание (если доказывается, что не является).

[Realite]

Скорее всего, нет. Я расписал следующее $\{ \omega: X^2(\omega) < x \}= \{ \omega: -\sqrt{x} < X(\omega) < +\sqrt{x} \}, x>0$, разумеется. Но тогда нужно привести пример, когда последнее нарушается, т.е. не принадлежит сигма-алгебре.

[gris]

Можно попробовать индикаторные $\{-1,1\}$функции для плохих множеств.

[provincialka]

gris, у меня была такая же мысль. Но что, если попробовать по определению?

Ведь надо проверить на измеримость не только прообразы симметричных интервалов. Надо проверить измеримость всех множеств вида $X(\omega)<x$. Как перейти отсюда к "плохим" множествам?

[--mS--]

Это не мысль. Это подсказка для ТС, пойти дальше которой - это уже взять и привести примитивный пример. Есть предложение не делать этого за ТС.

[provincialka]

Конечно, не будем! Итак уже подсказка достаточно "жирная".

[gris]

Так я по определению. Вначале хотел написать, что идея задачи в том, что квадрат функция хорошая, борелевская, а вот с обратной можно чудеса творить, выбирая знак. Самое простое, если некая функция принимает, ну скажем на отрезке, всего два значения: плюс и минус единица. Тогда квадрат тождественно равен единице. Хорошая СВ. А вот сама функция может и не быть СВ. Потом смотрю — автор в теме и можно просто намекнуть. Но я и так боюсь, что намёк уж очень. Подвал, дыба, баня

[--mS--]

Это уже не намёк, а решение. Ща кнопку нажму

[gris]

Так и знал
Нет, я просто чувствую, что это как раз намёк, который может быть использован. Да и то, есть подозрение, что не будет доведён до конца. Сами бы Вы такое "решение" защитали? (от слова защита). Вообще это задача не количественная. Тут главное — не выписывание формального решения, а понимание сути вещей.
Но я больше не буду, честное слово.

[--mS--]

Ну нет, конечно: не хватает омега и сигма-алгебры. Молчу, молчу :)

[Realite]

Насколько я понял, рассуждать нужно следующим образом. Рассмотрим модифиц. функцию Дирихле, причем в ирр. точках примем значение равным -1. С квадратом, очевидно, все хорошо. Сама же функция не является борелевской (в силу того, что прообраз любого полуинтервала не борелевское множество.). Я не ошибся?

[--mS--]

Вы полагаете, множество иррациональных чисел не борелевское?

Поищите вероятностное пространство попроще.