Сумма ряда

[Diom]

Господа не могли бы вы помочь разобраться с следующим парадоксом:

\[ \begin{array}{l} p = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {e^{ik\varphi } } }}{{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + e^{i\varphi } \left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {e^{ik\varphi } } } \right)}}{{n + 1}}} \right) = \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right) + e^{i\varphi } \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {e^{ik\varphi } } }}{{n + 1}}} \right) = e^{i\varphi } \cdot p \\ \end{array} \]

Где я совершил ошибку?

Добавлено спустя 2 часа 43 минуты 28 секунд:

Или же все таки сумма ряда равна нулю? при

\[ \varphi \ne 2\pi n \]

при n любое положительное целое число

[Lion]

Вроде все верно. А что Вас смущает?

[Gordmit]

Чтобы предел был равен 0, не обязательно, чтобы сумма в числителе равнялась 0. Просто при $\varphi\neq 2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$ она ограничена (при $n\to\infty$).

[Diom]

Lion писал(а):

Вроде все верно. А что Вас смущает?

Не вполне возможно, но это довольно неожиданный результат для той задачи которую я решал потому меня это и смутило

Добавлено спустя 29 секунд:

Gordmit писал(а):

Чтобы предел был равен 0, не обязательно, чтобы сумма в числителе равнялась 0. Просто при $\varphi\neq 2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$ она ограничена (при $n\to\infty$).

Извините я вас не очень понял

[Gordmit]

Diom писал(а):

Извините я вас не очень понял

Если $\varphi\neq 2\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$, то

$$\left|\sum_{k=1}^n e^{ik\varphi}\right|=\left|e^{i\varphi}\frac{e^{in\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\right|\leqslant\frac{2}{|e^{i\varphi}-1|}=C$$

(сумма ограничена не зависящей от $n$ константой), так что предел равен 0.

Если же $\varphi=2\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$, то

$$1+\sum_{k=1}^n e^{ik\varphi}=n$$

, и предел равен 1.