Радиус сходимости степенного ряда

[Urnwestek]

Верно ли, что радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции в точке $x_0$ равен расстоянию от этой точки до множества точек разрыва этой функции?
Это не задача, а просто вопрос из головы. Так что прошу простить меня за отсутствие попыток решения. (:

[provincialka]

Да.

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #788692 писал(а):

Да.

Довольно красиво... Это возможно доказать, имея лишь начальные сведения о рядах, аналитических функциях и комплексных числах?

[provincialka]

Не пробовала, у нас курс КП очень урезанный. Подождите специалистов. Или книги посмотрите.

-- 14.11.2013, 22:34 --

Посмотрела в учебнике (для втузов!), есть теорема о том, что функция, аналитическая в круге, раскладывается в ряд, сходящийся к ней самой. Доказательство основано на формуле Коши.

[Azog]

Судя по всему вопрос про вещественную функцию, определенную на $R^n$?
В таком случае ответ очевидно нет. Рассмотрите функцию $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$
С вещественной точки зрения у нее разрывов нету, однако если Вы её разложите в ряд Маклорена (Тейлор с центром в 0) то радиус сходимости будет равен 1.

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #788697 писал(а):

функция, аналитическая в круге, раскладывается в ряд, сходящийся к ней самой. Доказательство основано на формуле Коши.

Разве это эквивалентные формулировки?

Azog в сообщении #788717 писал(а):

Судя по всему вопрос про вещественную функцию, определенную на $R^n$?

Нет, в $\mathbb{C}$, не очень хорошо я сделал, написав $x_0$ вместо традиционного $z_0$ (:

[provincialka]

Конечно, эквивалентные, почему нет? Круг аналитичности функции ограничен ближайшей особой точкой.

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #788723 писал(а):

Круг аналитичности функции ограничен ближайшей особой точкой.

Ограничен-то да, а вдруг радиус окажется меньше (как, допустим, это случается в вещественных числах на примере, показанном Azog)?

[provincialka]

Нет. Ведь в теореме сказано, что во всем круге аналитичности функция раскладывается в ряд.

(Оффтоп)

Честно говоря, вы меня удивили. Мне казалось, что это одно и то же

[Urnwestek]

Ну, аналитическая в круге, я как понимаю — это значит что в каждой точке этого круга функцию можно разложить в степенной ряд и он будет сходится к значению функции в некоторой окрестности этой точки. А радиус сходимости — это если мы фиксируем точку $z_0$, раскладываем функцию в ряд в этой точке, а потом берём круг максимального радиуса, в котором этот ряд (точки $z_0$) сходится к значению функции. Если то, что я сформулировал, верно, то, конечно «круг аналитичности» и «круг сходимости» совпадают. Но мне непонятно, как из приведенной вами теоремы это следует.

[provincialka]

Странное определение аналитичности. Это же не вещественный случай. Для аналитичности в точке достаточно дифференцируемости в окрестности. То есть в круге не должно быть особых точек функции и производной.

-- 15.11.2013, 00:41 --

Или вы рассматриваете случай, когда есть особая точка производной, но нет особенности самой функции? Об этом я как-то не задумывалась.

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #788755 писал(а):

Или вы рассматриваете случай, когда есть особая точка производной, но нет особенности самой функции? Об этом я как-то не задумывалась.

Я, изначально, хотел доказательство без использования того факта, что из дифференцируемости следует аналитичность, потому что попросту забыл его (в параграфе он упоминался лишь вскольз, без доказательства), «элементарными методами», так сказать. (: Но теперь и мне интересно, как рассмотреть случай, на который вы указали.

[Oleg Zubelevich]

Urnwestek в сообщении #788691 писал(а):

Верно ли, что радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции в точке $x_0$ равен расстоянию от этой точки до множества точек разрыва этой функции?

правильнее сказать до множества особенностей аналитической функции
факт вытекает из интегральной формулы Коши, как и сама теорема Тейлора для аналитических функций

[ewert]

Стандартная последовательность:

1) из дифференцируемости следует интегральная теорема Коши;

2) из теоремы Коши следует интегральная формула Коши;

3) из формулы Коши следует разложение в степенной ряд, и именно Тейлора, в любом круге дифференцируемости;

4) радиус сходимости степенного ряда не меняется при формальном дифференцировании, и в любом строго внутреннем подкруге степенной ряд сходится равномерно;

5) как следствие: сумма степенного ряда дифференцируема внутри круга сходимости.

По совокупности: радиус сходимости ряда ряда Тейлора -- это радиус максимального круга с данным центром, внутри которого функция дифференцируема. Только с одним нюансом: имеется в виду, вообще говоря, не исходная функция, а её аналитическое продолжение. Скажем, у функции $\frac{\sin z}z$ ноль является особой точкой, и тем не менее любой её ряд Тейлора сходится всюду.

[provincialka]

ewert, а как связаны особенности: может ли функция быть непрерывной в точке (изолированной). где она недифференцируема?

В вещественном случае - может, например, $|x|$ или , скажем, $\sqrt x$. Но в комплексном случае я такого не встречала.