Электрончик бегает по кругу

[Soshnikov_Serg]

Всем доброго времени суток, уважаемые дамы и господа!
Помогите плиз разобраться в ситуации. Никак для себя не могу сформулировать...
Вот простейшая задача по движению заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле. В классическом варианте пусть частица двигается в плоскости, перпендикулярной магнитной индукции так, что зависимости координат от времени (при соотв. выборе системы координат и начале отсчета времени. Рассматривается чисто двухмерный случай):
$x=a \cos(\frac{qB}{M}t)$
$y=a \sin(\frac{qB}{M}t)$
Уравнение движения (нерелятивистский случай):
(*1) $M\frac{V}{a}=qB$
При таком движении частица вроде как должна излучать энергию. А ее траектория, по хорошему, с уменьшением энергии должна превращаться в спираль. На каком-то форуме как раз так и преподносилось. Правда, где-то на форумах же задавался вопрос: а наблюдалось ли излучение при таком движении. Имелось ввиду, конечно, не излучение, возникающее при попадании в поле, а именно при устоявшемся движении.
Что говорит квантовая теория? Согласно постулатам Бора такое движение будет обладать квантованным моментом импульса:
(*2) $MVa=n\hbar$
и излучение происходит только при переходе из одного состояния в другое. Из (*1) и (*2) получаем, что энергия частицы
$E=\frac{MV^2}{2} \sim n$
т.е. серию эквидистантных уровней. Строго задача решена в задаче № 1 к параграфу 112 3-го тома ТеорФизики Ландау и Лифшица (издание 1989 г.).
Получено решение в виде $\Psi_{n,m}(r,\varphi,t)$ ($r=\sqrt{x^2+y^2}$), описывающие стационарные состояния, соответствующие различным значениям энергии и проекции момента на ось Z.
НО!
Для той же задачи нетрудно получить и решение, соответствующее когерентному состоянию. Нигде не видел, к сожалению, но получается вот так:
$\Psi=\exp(-\frac{qB}{4\hbar}(r^2-2ar\cos(\varphi-\frac{qB}{M}t))+\frac{i}{\hbar}(\frac12 qBar\sin(\varphi-\frac{qB}{M}t)-\frac12 \hbar \frac{qB}{M}t))$
Т.е. я четко "вижу", что частица движется по окружности радиуса $a$ с соответствующей частотой. Т.е. почти классическую картинку. Мало того, при $\hbar \to 0$ полученная гауссиана будет обращаться в $\delta$ - функцию. Т.е. непосредственно перехожу к классической траектории. Ну и выводы - соответствующие.
С другой стороны полученное решение раскладывается по стационарным состояниям:
$\Psi=\sum\limits_{n,m}b_{n,m}\Psi_{n,m}$
С постоянными коэффициентами $b_{n,m}$. Т.е. в таком состояние излучение уже не происходит.
Как правильно сформулировать: когда может или не может происходить излучение???

[VladimirKalitvianski]

Для одной классической заряженной частицы есть дипольный момент, зависимость которого от времени дает излучение. В квантовой механике то же самое, только будут переходу между дискретными уровнями.

Если изначально электрон находится (приготовлен) в суперпозиции состояний, то это особенно ничего не должно менять - переходы будут. И дело не в постоянстве коэффициентов суперпозиции - коэффициенты (населенности состояний) будут не постоянными, а переменными из-за присутствия члена взаимодействия в уравнении электрона. Этот член взаимодействия, если выбран изначально с не занятыми фотонными состояниями, будет "заполнять" числа заполнения фотонов и обеднять числа заполнения электронных состояний. То есть уравнений больше, чем одно. Если фотонов изначально много, то взаимодействие с таким фотонным полем может вести и к "накачке" уровней электрона.

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #787545 писал(а):

Строго задача решена в задаче № 1 к параграфу 112 3-го тома ТеорФизики Ландау и Лифшица (издание 1989 г.).

Это решение не той задачи.

Есть разные варианты теории. Ну, грубо говоря:
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \begin{tabular}{c}\end{tabular}& \begin{tabular}{c}Механика:\end{tabular}& \begin{tabular}{c}Механика $+$\\ $+$ электродинамика:\end{tabular}\\ \hline \begin{tabular}{c}Классический случай:\end{tabular}& \begin{tabular}{c}движение\\ по окружности\\(КлМ)\end{tabular}& \begin{tabular}{c}движение\\ по спирали\\(КлЭД)\end{tabular}\\ \hline \begin{tabular}{c}Квантовый случай:\end{tabular}& \begin{tabular}{c}стационарные\\ уровни\\(КМ)\end{tabular}& \begin{tabular}{c}излучающие\\ уровни\\(КЭД)\end{tabular}\\ \hline \textit{\begin{tabular}{c}Итого:\end{tabular}}& \textit{\begin{tabular}{c}всегда\\ нет~излучения\end{tabular}}& \textit{\begin{tabular}{c}всегда\\ есть~излучение\end{tabular}}\\ \hline \end{tabular}

Вы сначала изложили результаты из первой строчки (КлМ и КлЭД). Потом вы процитировали решение задачи из ЛЛ-3, но какой задачи? Это была задача (КМ). Разумеется, там ничего не излучало. Взаимодействие с электромагнитным полем "выключено". Поле влияет на заряд (и задаёт его гамильтониан), но нет обратного влияния: заряд не влияет на поле. Поэтому результат ожидаем.

Полное решение задачи даётся только с учётом взаимодействия с электромагнитным полем, которое должно быть тоже квантованным, и тогда задача становится задачей квантовой электродинамики (КЭД). За счёт взаимодействия, все уровни оказываются нестационарными, кроме одного-единственного - низшего по энергии. Таким образом, частица с любого уровня начинает "падать" вниз, испуская фотоны, пока наконец не опустится на "дно", и останется там навечно.

Подобные модификации теории происходят "мысленно": мы "включаем" или "выключаем" тот или иной элемент реальности, вставляя или исключая его из нашей модели. Реальным изменениям физических условий это не соответствует. Но можно менять физические условия так, чтобы модель с "выключенным" эффектом была либо хорошо соответствующей реальности - то есть, эффект и вправду пренебрежимо мал - либо плохо соответствующей реальности - и тогда нужно пользоваться более мощной моделью. Например, мощность синхротронного излучения хорошо оценивается уже в рамках классической электродинамики (квантовая не сильно влияет на этот результат), и можно подобрать достаточно медленное движение, при котором излучения практически не происходит. Но при больших ускорениях частицы - излучение будет велико, и хорошо видно в опытах, и даже мешает строить мощные ускорители.

[VladimirKalitvianski]

О включении излучения посмотрите книжку А.Б. Мигдала "Качественные методы в квантовой теории", Глава 1, § 3.

[Soshnikov_Serg]

Munin в сообщении #787694 писал(а):

Soshnikov_Serg в сообщении #787545 писал(а):

Строго задача решена в задаче № 1 к параграфу 112 3-го тома ТеорФизики Ландау и Лифшица (издание 1989 г.).

Это решение не той задачи.

Не понял тут немного. А какой? Я другое уравнение Шредингера рассматривал?

Нет, ну оно конечно, все понятно. Просто нигде не приходилось встречаться с точными решениями задачи об излучении ускоренно движущегося заряда. Не знаю, возможно ли такое.
Речь, конечно, не о случае, когда мы говорим, что дескать есть вот диполь и есть интенсивность дипольного излучения. Потому энергия и "падает", и заряд вместе с ней.
На уровне КлЭД существуют такие решения? Не можете подсказать?

[VladimirKalitvianski]

Soshnikov_Serg в сообщении #787935 писал(а):

На уровне КлЭД существуют такие решения? Не можете подсказать?

На уровне КлЭД существуют, посмотрите разделы книжек о торможении излучением. Там вводится сила радиационного трения $\propto \dot{\mathbf{F}}_{ext}$, ведущая к потере энергии (в конечном итоге).

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #787935 писал(а):

Не понял тут немного. А какой? Я другое уравнение Шредингера рассматривал?

Я же вроде объяснил, какой.

В КЭД недостаточно уравнения Шрёдингера.

Soshnikov_Serg в сообщении #787935 писал(а):

Просто нигде не приходилось встречаться с точными решениями задачи об излучении ускоренно движущегося заряда. Не знаю, возможно ли такое.

Просто это изложено в учебниках по КЭД, а они намного сложнее учебников по КМ. И соответственно, КЭД дают намного меньшему количеству студентов. Она даётся только на физических факультетах, а КМ читают и химикам, и технарям. Так что даже сама теория сравнительно малоизвестна. Вы о ней могли не слышать.

На самом элементарном уровне намёки на КЭД даны в конце учебника Мессиа по КМ.

Soshnikov_Serg в сообщении #787935 писал(а):

На уровне КлЭД существуют такие решения?

В классической электродинамике вообще всё просто и подробно расписано. Например,
Ландау, Лифшиц. Теоретическая физика. 2. Теория поля.
Там главы 8 и 9. (Если вы не знакомы со СТО, то надо прочитать и предыдущие главы, там активно используется релятивистский формализм.)

[Soshnikov_Serg]

Munin в сообщении #787998 писал(а):

Soshnikov_Serg в сообщении #787935 писал(а):

На уровне КлЭД существуют такие решения?

В классической электродинамике вообще всё просто и подробно расписано. Например,
Ландау, Лифшиц. Теоретическая физика. 2. Теория поля.
Там главы 8 и 9. (Если вы не знакомы со СТО, то надо прочитать и предыдущие главы, там активно используется релятивистский формализм.)

Ну да, понятно. Спасибо большое за консультации

[Munin]

(Оффтоп)

Если что, вот КЭД изучать уже лучше не по Ландафшицу... В написании 4 тома Ландау участия не принимал.