Вероятность натурального числа быть простым

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #786309 писал(а):

Цитата:

Мы выбираем наугад число из интервала [x,x+a) и смотрим является ли оно простым или нет. Ваше число $x=n!$ составное, поэтому ему соответствует черный шар, а мы считаем в модели белые и делим на общее количество шаров, определяя искомую вероятность. Все нормально!

Но после черного шара ($x=n!$ ) идут белые или черные
как минимум $n$ черных...

Это не совсем так 3!+1=7 простое число, которому соответсвует белый шар.

Цитата:

пусть $x=492111<10! $ , каким должно быть $a$

Я не говорю о конкретном значении х, а только о его порядке. В данном случае число х примерно порядка $5 \cdot 10^5$. Это не большое число. Я рассматриваю большие х порядка не менее $10^8$.

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #786309 писал(а):

Цитата:

Мы выбираем наугад число из интервала [x,x+a) и смотрим является ли оно простым или нет. Ваше число $x=n!$ составное, поэтому ему соответствует черный шар, а мы считаем в модели белые и делим на общее количество шаров, определяя искомую вероятность. Все нормально!

Но после черного шара ($x=n!$ ) идут белые или черные
как минимум $n$ черных...

Вы наверно хотели сказать, что после составного числа (n+1)! после (n+1)!+1 следуют n составных чисел от (n+1)!+2 до (n+1)!+(n+1)

Цитата:

пусть $x=492111<10! $ , каким должно быть $a$

Возьмем n=11, тогда (n+1)!=479001600, т.е. число порядка $5 \cdot 10^8$. Оптимальное а в этом случае примерно $3,5 \cdot 10^5$. Как видите значительно больше 11

[vicvolf]

Теперь рассмотрим плотность последовательности простых чисел f(n) на интервале натурального ряда [x-a,x+a):
$P(f,x-a,x+a)=\frac {\pi(f,x,x+a)-\pi(f,x,x-a)} {2a}$. (27)
На основании асимптотического закона простых на основании (27) получаем:
$P(f,x-a,x+a) \sim \frac {\int_{2}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}-\int_{2}^{x-a}{\frac {dt} {\ln(t)}}} {2a}=\frac {\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}}{2a}=\frac {2a} {2a\ln(z)}=1/\ln(z)$, (28)
где $x-a<z<x+a$.
На основании (28) получаем:
$P(f,x-a,x+a)=\frac {\pi(f,x,x+a)-\pi(f,x,x-a)} {2a} \sim 1/\ln(x)$ или $P(f,x-a,x+a)=\frac {\pi(f,x,x+a)-\pi(f,x,x-a)} {2a} =1/\ln(x)+o(1/\ln(x)$. (28)
Как уже ранее было доказано, плотность целочисленной строго возрастающей последовательности, которой является последовательность простых чисел, на ограниченном интервале натурального ряда (в данном случае х-а, х+а) является значением конечной вероятностной меры, т.е. вероятностью любого взятого наугад натурального числа из данного интервала быть простым.
Если x -большое натуральное число порядка $10^8$ и более (подразумевается, что значение х нам не известно) , а $x \gg a$, то вероятность любого натурального числа из данного интервала быть простым примерно равна $1/\ln(x)$. Говорю примерно, так как при этом допускается ошибка.
Поэтому поговорим о точности определения данной вероятности на интервале [x-a,x+a).
На основании (20) $\Delta_{o1}=\frac {1/(B-A)} {\pi(f,A,B)/(B-A)}=1/\pi(f,A,B)=1/\pi(f,x-a,x+a)=1/\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}$.(29)
Абсолютная ошибка:
$\Delta_{a2}=\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}/2a-1/\ln(x)$. (30)
На основании (30) получаем относительную ошибку:
$\Delta_{o2}=\frac {\Delta_{a2}} {1/\ln(x)}=\frac {\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}/2a-1/\ln(x)} {1/\ln(x)}$. (31)
Суммируя относительные ошибки (29) и (30) мы получаем общую относительную ошибку в определении вероятности:
$\Delta_{o}=\Delta_{o1}+\Delta_{o2}=1/\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}+\frac {\int_{x-a}^{x+a}{\frac {dt} {\ln(t)}}/2a-1/\ln(x)} {1/\ln(x)}$.(32)
При фиксированном значении х имеется оптимальное значение интервала а, при котором функция (32) - $\Delta_{o}(a)$ имеет минимум.
Например, при $x=10^{8}$ оптимальное $a=10^6$. В этом случае относительная ошибка не превосходит: $\Delta_o=10^{-5}$. При $a=10^4$ относительная ошибка - $\Delta_o=10^{-3}$. При $a=10^5$ относительная ошибка - $\Delta_o=10^{-4}$. При $a=10^7$ относительная ошибка также $\Delta_o=10^{-4}$. При $a=10^8$ относительная ошибка вырастает до $\Delta_o=2 \cdot 10^{-2}$ (2%).
Вообщем ситуация похожая на интервал [x,x+a), но имеется отличие - с ростом а ошибка растет медленнее и резко скачет при x=a.

[megamix62]

Цитата:

Вы наверно хотели сказать, что после составного числа (n+1)! после (n+1)!+1 следуют n составных чисел от (n+1)!+2 до (n+1)!+(n+1)
пусть $x=492111<10! $ , каким должно быть $a$

Возьмем n=11, тогда (n+1)!=479001600, т.е. число порядка $5 \cdot 10^8$. Оптимальное а в этом случае примерно $3,5 \cdot 10^5$. Как видите значительно больше 11

для $x=492111<10! $ -- $a>115$

Как видим значительно больше чем $a>11$

Для числа порядка $5 \cdot 10^8$ , $a>283$,

а не примерно $3,5 \cdot 10^5$

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #788336 писал(а):

Цитата:

Вы наверно хотели сказать, что после составного числа (n+1)! после (n+1)!+1 следуют n составных чисел от (n+1)!+2 до (n+1)!+(n+1)
пусть $x=492111<10! $ , каким должно быть $a$

Возьмем n=11, тогда (n+1)!=479001600, т.е. число порядка $5 \cdot 10^8$. Оптимальное а в этом случае примерно $3,5 \cdot 10^5$. Как видите значительно больше 11

для $x=492111<10! $ -- $a>115$

Как видим значительно больше чем $a>11$

Для числа порядка $5 \cdot 10^8$ , $a>283$,

а не примерно $3,5 \cdot 10^5$

В данном случае a не является расстоянием между соседними простыми числами. Величина а соизмерима с х, где х - большое натуральное число ($a=\epsilon \cdot x$, где $0<\epsilon <1$). Значение а выбирается из условия, чтобы количество простых чисел на интервале [x-a,x+a) было достаточным для вероятностных оценок появления простого числа на данном интервале с необходимой точностью.