При разложении в ряд Фурье x*cosx получится 0 в знаменателе?

[DigitChar]

Здравствуйте.
Нужно разложить в ряд Фурье $ f(x)=x\cdot cos x $ на $[-\pi; \pi]$.

У меня получилось $b_n = \frac{(-1)^n 2n}{n^2 - 1}$ по формуле $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot sin(nx)dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cdot sin(nx)dx $

Подставляю $b_n$ в формулу для нечётной функции $$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\cdot sin(nx)$
Получается такой ряд: $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2n}{n^2 - 1}\cdot sin(nx)$.
Тогда при $n=1$ в знаменателе $n^2 - 1 = 0$.

$\bullet$ Как избавиться от деления на ноль?
$\bullet$ Если начать сумму с 2, а не с 1 это будет ошибкой?
$\bullet$ $b_n$ правильно найден?

[iifat]

Почему бы не проверить? $\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x\cos x\sin x dx=$? Независимо от того, верна ли формула при прочих $n$, $b_1$ видится вполне обычным числом.

[provincialka]

При вычислении таких интегралов часто возникают особые случаи. Как только вы делите на что-то, проверяйте, при каких $n$ это возможно.

[DigitChar]

iifat в сообщении #788462 писал(а):

Почему бы не проверить? $\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x\cos x\sin x dx=$? Независимо от того, верна ли формула при прочих $n$, $b_1$ видится вполне обычным числом.

Спасибо.