Статистика. Проверка гипотез.

[max(Im)]

Добрый день!
Пытаюсь решить такую задачу:
За первый час зарегистрировано 150 событий потока Пуассона, за следующие два часа зарегистрировано 250 событий. Нужно проверить гипотезу о том, была ли постоянная интенсивность наступления событий в единицу времени в течении всех трех часов (задан уровень значимости).

Вероятность того, что случится $k$ событий за время $t$, равна $\frac{(\lambda t)^k\cdot e^{-\lambda t}}{k!}.$ Непонятно вот что. Что такое постоянство интенсивности. Ну то есть да, в течении всех трех часов было одно $\lamda.$ Но что значит - не была постоянной? Ведь если она в какую-то минуту была отличной от всего остального времени, то это тоже непостоянна?

Хорошо, наверное, нужно использовать критерий $\chi^2$, но как представить тут выборку, из чего она состоит, и какому распределению должна принадлежать? У нас есть лишь 2 числа - 150 и 250...

[Евгений Машеров]

Надо думать, подразумевается следующее. Известна интенсивность за первый час. За второй и третий она выглядит иной, вместо 150 событий в час получается 125. Нуль-гипотеза - интенсивность во второй и третий час равна первой (т.е. видимое изменение продукт игры случайностей), альтернативная - действительно изменилась.

[max(Im)]

Как правильнее подойти к решению?
Есть идея найти максимальным правдоподобием лучшее значение интенсивности (если она одна и та же). Получится $\lambda = \dfrac{m + k}{3}.$ Тут $m,k$ - число событий за первый час и вторые два. И далее оценивать наподобие хи-квадрата...
Что-то вроде

$$T(X) = \dfrac{(m - \lambda t_1)^2}{\lambda t_1} + \dfrac{(k - \lambda t_2)^2}{\lambda t_2} = \dfrac{(m - \lambda)^2}{\lambda} + \dfrac{(k - 2\lambda)^2}{2\lambda} $$

Дальше попытаться найти ее распределение. Но сложно(.
Как быть правильнее?

[max(Im)]

Плохо с такой идеей.
Нашел в интернете, что если разбить весь интервал на три часа, то получается, что число событий имеет полиномиальное распределение, с равными вероятностями? Известен ли подобный факт?

Как же быть?

[--mS--]

Предлагаю просто воспользоваться критерием хи-квадрат при двух интервалах группировки с априорными вероятностями, соответственно, $1/3$ и $2/3$ и накопленными частотами $150$ и $250$.

[Александрович]

Наберите в поисковике:"Калькулятор сравнения параметров распределения Пуассона".

[max(Im)]

--mS-- в сообщении #788823 писал(а):

Предлагаю просто воспользоваться критерием хи-квадрат при двух интервалах группировки с априорными вероятностями, соответственно, $1/3$ и $2/3$ и накопленными частотами $150$ и $250$.

А если формально, то какая гипотеза проверяется хи-квадратом? О подчинении какому распределению выборки $(150,250)$ ?

[max(Im)]

Александрович в сообщении #788828 писал(а):

Наберите в поисковике:"Калькулятор сравнения параметров распределения Пуассона".

В подобных калькуляторах не поток Пуассона, а выборка из распределения Пуассона, это не совсем то, потому там требуются еще дополнительные параметры, которых в условии нет.

[Александрович]

max(Im) в сообщении #788907 писал(а):

В подобных калькуляторах не поток Пуассона, а выборка из распределения Пуассона, это не совсем то, потому там требуются еще дополнительные параметры, которых в условии нет.

Объясните мне в чём разница, и какие ещё дополнительные параметры требуются.

[max(Im)]

Задача в калькуляторах такая: есть две выборки из распределения Пуассона с возможно разным $\lambda$, известны их размеры и сумма значений в выборках (итого 4 числа), нужно проверить гипотезу о равенстве распределений.

Задача у меня такая - есть поток Пуассона, в котором за первый час произошло 150 событий, за вторые два - 250.
Нужно проверить, что интенсивность была одинакова. Никаких выборок определенного количества нет. Просто час и два часа. Известна вероятность определенного числа событий за заданный промежуток времени.

[Александрович]

max(Im) в сообщении #788922 писал(а):

Задача в калькуляторах такая: есть две выборки из распределения Пуассона с возможно разным $\lambda$, известны их размеры и сумма значений в выборках (итого 4 числа), нужно проверить гипотезу о равенстве распределений.

Нужно проверить гипотезу $\lambda_1=\lambda_2 $, так?

max(Im) в сообщении #788922 писал(а):

Задача у меня такая - есть поток Пуассона, в котором за первый час произошло 150 событий, за вторые два - 250.
Нужно проверить, что интенсивность была одинакова.

Нужно проверить гипотезу $\lambda_1=\lambda_2 $, так?

Вы не ответили на мой вопрос.

Александрович в сообщении #788908 писал(а):

Объясните мне в чём разница, и какие ещё дополнительные параметры требуются.

[max(Im)]

Хорошо, тогда ответьте, чему равен объем выборки для первого часа в моей задачи? (Если вы считаете, что тут есть выборка)

[Александрович]

max(Im) в сообщении #788927 писал(а):

Хорошо, тогда ответьте, чему равен объем выборки для первого часа в моей задачи? (Если вы считаете, что тут есть выборка)

Если фиксировали значения каждую минуту, то 60.

[max(Im)]

Фиксировали количество событий за первый час и следующие два. Фиксировали всегда, стоял счетчик событий, насчитал 150 за час. Ничего больше не дано.

[Александрович]

max(Im) в сообщении #788937 писал(а):

Фиксировали количество событий за первый час и следующие два. Фиксировали всегда, стоял счетчик событий, насчитал 150 за час. Ничего больше не дано.

Этого достаточно чтобы проверить вашу гипотезу по моей ссылке. Ответьте честно, вы туда заходили?