Разложение простых чисел в круговых полях

[Oleg17]

привет всем!
я тут немного запутался. Помогите, пожалуйста.

Задача: есть круговое поле $Q(\xi_q)$,где $\xi_q$ - корень из единицы степени $q$, $q$-простое число.
есть простое число $p$, не делящее $q$.
$p$ имеет порядок по $mod(q)$ равный $f$.
Тогда по теореме в кольце целых поля $Q(\xi_q)$ идеал $(p)$ раскладывается на произведение $e=(q-1)/f$ различных простых, каждый с локальной степенью равной $f$.
Получается, что норма простых идеалов в $Q(\xi_q)$ над $(p)$ равна $p^f$.
Если взять подполе поля $Q(\xi_q)$, образованное $f$-членными периодами $\eta_0,\eta_1,...,\eta_{e-1}$ , которое является полем разложения числа p,
то (p) раскладывается в этом поле на простые, каждое из которых имеет норму $p^f$.
вот я что-то не понимаю, как соотносятся простые идеалы над $p$ в подполе и главном поле. у них же не могут быть равные нормы?..
кто знает, объясните, пожалуйста, где я не прав.
может посоветуете, что почитать.
спасибо за внимание!

[Руст]

Например при квадратичном расширении (f=1) нормы сопряжённых величин одинаковы. То же имеет место здесь. Советую читать Ленга №Алгебраические числа".

[Oleg17]

не совсем понял, при чем здесь сопряжённые величны..
понятно, что в круговых расширениях все идеалы в разложении p будут иметь одинаковую норму.
меня смущает, что норма никак не изменятется при переходе из подполя в поле.
разве не должна меняться в ней хотя бы степень p?

[Руст]

При переходе к норму расширения норма элемента из подполя является степенью нормы подполя.

[Oleg17]

а ну ступил. периоды запутляли...
в подполе норма простого числа равна $p^e$
следовательно, норма простого идеала над $p$ в этом подполе не может быть равной $p^f$.
спасибо.