Задача из Ландау Том 7 Теория Упругости (по вект анализу)

[Divergence]

Задачка номер 2 из Ландау Лифшица Том 7. Теория упругости. после Параграфа 7.
Это даже скорее задачка не по теории упругости, а по векторному анализу.

Найти решение уравнения $ grad \, div \, \vec{u}=0 , $
в сферической системе координат, когда $\vec{u}$ направлен только по радиусу,
$rot \, \vec{u}=0$, и зависит только от $r$.
(там нужно найти деформацию $\vec{u}=0$ шара).

Решение по Ландау:
$grad \, div \, \vec{u}=0 , \quad div \, \vec{u}= const =3a , $
В сферических координатах
$ \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 u)}{\partial r} =3a , \quad \frac{\partial (r^2 u)}{\partial r} =3a r^2 \quad r^2 u =a r^3 +b $
Ответ Ландау:
$u =a r +b r^{-2} $.

Мое решение:
Используя $ grad \, div \, \vec{u}= \Delta \, \vec{u} + rot \, \rot \, \vec{u} , $ и $rot \, \vec{u}=0$,
записываю уравнение $ grad \, div \, \vec{u}=0 , $ в виде
$ \Delta \, \vec{u} =0 $
В сферических координатах
$ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl( r^2 \frac{\partial \vec{u}}{\partial r}\Bigr) =0 $
Решаем, используя $\vec{u}=u \vec{e}_r$,
$ \frac{\partial}{\partial r} \Bigl( r^2 \frac{\partial \vec{u}}{\partial r}\Bigr) =0 \quad \Bigl( r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\Bigr) = const =a \quad \frac{\partial u}{\partial r} =a r^{-2} $
Ответ мой:
$ u = - a r^{-1} +b . $
Мой ответ не совпал с $u =a r +b r^{-2} $.

Где же у меня ошибка? А может у Ландау? Не могу найти. Подскажите пожалуйста.

[Diffeomorfizm]

У вас ошибка, вы не правильно записали Лапласиан от вектора в сферической системе координат - вы записали, как от скаляра.

[Divergence]

Уважаемый Diffeomorfizm.
Подскажите пожалуйста где можно найти запись Лапласиан от вектора в сферической системе координат.

Я пишу $\vec{u}=u_r \vec{e}_r$ и выношу $\vec{e}_r$, используя $\Delta \vec{e}_r=0$.
Разве это не верно?

-- 12.11.2013, 21:24 --

Нашел запись для $\mathbb{R}^3$: $\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2$.

Мне нужно для $\mathbb{R}^n$.
Лапласиан в $\mathbb{R}^n$ для скаляра выглядит так $ \Delta u(r) = {d^2 u \over dr^2} + {n-1 \over r } {d u\over dr}$.
Как Лапласиан от вектора $\vec{u}(r)$ выглядит для $\mathbb{R}^n$?
Заранее спасибо

[Dan B-Yallay]

(Vector Laplacian A)

Divergence в сообщении #788041 писал(а):

Нашел запись для $\mathbb{R}^3$: $\Delta \vec{u}(r)= \Delta u_r - 2u_r /r^2$

Wiki:

$$\begin{align} \qquad \Delta \mathbf{A} \equiv \nabla^2 \mathbf{A}= \left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2} - \frac{2}{r^2\sin\theta} \frac{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right)}{\partial\theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}{\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}}\right) &\hat{\boldsymbol r} \\ + \left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\right) &\hat{\boldsymbol\theta} \\ + \left(\Delta A_\phi - \frac{A_\phi}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2\sin\theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi}\right) &\hat{\boldsymbol\phi} \end{align}$$

-- Ср ноя 13, 2013 14:43:57 --

(Laplacian $f$)

Divergence в сообщении #788041 писал(а):

Лапласиан в $\mathbb{R}^n$ для скаляра выглядит так $ \Delta u(r) = {d^2 u \over dr^2} + {n-1 \over r } {d u\over dr}$.

$$\mathbb R^3: \Delta f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} = (?) = {d^2 f \over dr^2} + {3-1 \over r } {d f\over dr}$$

[Divergence]

Спасибо, что ответили. Однако у меня написано для $\vec{u}(r)$, а не для $\vec{u}(\vec{r})=\vec{u}(r,\theta,\varphi)$. Вики-статьи я видел.

Divergence в сообщении #788041 писал(а):

Мне нужно для $\mathbb{R}^n$.
Лапласиан в $\mathbb{R}^n$ для скаляра выглядит так $ \Delta u(r) = {d^2 u \over dr^2} + {n-1 \over r } {d u\over dr}$.

- из http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
Здесь для произвольного $n$-мерного евклидова пространства для скаляра $u(r)$, не зависящего для углов. Для вектора $\vec{u}(r)$ в $\mathbb{R}^n$ найти не могу!
Может кто-нибудь знает ссылку?

[Oleg Zubelevich]

в МСС обычно оператор Лапласа определяют так: $\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j$
в такой форме его можно применять к любому тензорному полю