школьное уравнение 4-й степени

[eiler13]

Какими приемами можно получить вот такое разложение:
$x^4+12x^3+38x^2+12x-35=(x^2+6x-5)(x^2+6x+7)$
и ему подобные?

[Urnwestek]

Искать корни среди делителей свободного члена, например.

[gris]

$x^4+12x^3+38x^2+12x-35=x^4+12x^3+36x^2+2x^2+12x-35=x^2(x^2+12x+6^2)+2x(x+6)-35=(x^2+6x)^2+2(x^2+6x)-35=t^2+2t-35=(t-5)(t+7)=(x^2+6x-5)(x^2+6x+7)$

Но это для очень специфического многочлена. Впрочем,

$x^4+2x^3+4x^2+3x-4=x^4+2x^3+x^2+3x^2+3x-4=x^2(x^2+2x+1)+3x(x+1)-4=(x^2+x)^2+3(x^2+x)-4=t^2+3t-4=(t-1)(t+4)=(x^2+x-1)(x^2+x+4)$

Ты смотри, работает!

Алексей К! Зацените метод!

[Someone]

Например, методом неопределённых коэффициентов: пусть

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+12x^3+38x^2+12x-35.$$

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений

$$\begin{cases}a+c=12,\\ ac+b+d=38,\\ ad+bc=12,\\ bd=-35.\end{cases}$$

Число $-35$ можно четырьмя способами представить как произведение целых чисел:

$$-35=1\cdot(-35)=5\cdot(-7)=7\cdot(-5)=35\cdot(-1).$$

Испробовав эти способы, получим искомое разложение заданного многочлена в произведение многочленов с целыми коэффициентами, если такое разложение существует. Если его не существует, то решение этой системы вряд ли будет проще решения исходного уравнения.