Ряд с параметром

[StrMth]

Правильно ли я думаю : $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \ln^\alpha \ch(1/n)/\ln^{2}(n+1) $,
$a(n)\sim (1/n^{2}^{\alpha+2})$ ?

[Deggial]

Эквивалентность пишется как \sim: $\sim$. Поправил.
Сформулируйте вопрос темы, сейчас совершенно неясно, чего Вы хотите и совершенно неизвестно, что такое $a(n)$.

[StrMth]

$a(n)$ это общий член ряда, ну я пытаюсь разобраться со сходимостью ряда

[Human]

Ну, эквивалентную функцию Вы неверно нашли.
Распишите подробно, как искали отдельно для числителя и знаменателя.

[ewert]

StrMth в сообщении #787213 писал(а):

$a(n)\sim (1/n^{2}^{\alpha+2})$ ?

Две альфы -- это верно (с точностью до константы) Но за что Вы с нижним-то логарифмом так зверски обошлись?...

[StrMth]

Так ведь $\ln(1+x)=x+O(x^2)$ ?

[SpBTimes]

StrMth
А при какой базе это верно, вы знаете?

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #787420 писал(а):

StrMth
А при какой базе это верно, вы знаете?

проще говоря, $x$ куда стремится?

[StrMth]

Понял, а на бесконечности тогда как быть?

[provincialka]

На бесконечности логарифм растет чрезвычайно медленно, сравните его с $x^{1/n}$ с помощью правила Лопиталя.

[StrMth]

$x^{1/n}>\ln(1+x)$

[provincialka]

То есть, говоря неформально, логарифм не добавляет ничего к степени $n$. Он может "сыграть" только в пограничном случае, когда степень $n$ равна 1. Но всё это надо строго обосновать.

[StrMth]

Строго обосновать некими оценками?

[provincialka]

Да. Рассмотрите случаи $\alpha <1,=1,>1$

[StrMth]

При $\alpha > 1 $ вроде бы можно вот так оценить $\ln^\alpha \ch(1/n)/\ln^{2}(n+1)\leqslant 1/n^{2}^{\alpha} / n^{2}$ ,или я опять путаю, и эта оценка справедлива только в окрестности нуля? При $\alpha = 1$ я предполагаю, что нужно по Тейлору расписать, но попробовав , получается что-то такое: $(1/n-1/2n^2+o(1/n^2))/(n-(n^2)/2+o(n^2))$ И что с этим делать дальше - непонятно