Многополюсные числа

[Xaositect]

quest2 в сообщении #787106 писал(а):

Указанной Вами заменой $a$ на $-a$ и $-a$ на $a$, мы сможем лишь перевести первую из этих систем во вторую, а вторую в первую, но никак не сведем все это к одной системе верных выражений.

Это значит, что это на самом деле одна и та же система, просто в разных обозначениях. Это называется "изоморфизм".

[quest2]

Urnwestek в сообщении #787062 писал(а):

Можете поподробнее разъяснить ваш пример с суммированием, а то из вашего

quest2 в сообщении #786829 писал(а):

Отличие такого определения от данного в стартовом сообщении темы в том, что взаимоуничтожение чисел разных полюсов в силу величины их модулей возможно только при одновременном присутствии в мультиарной операции чисел всех имеющихся полюсов в данной системе счета.

почти ничего непонятно. У вас сумма и произведенение — бинарные или теранрные операции? Если тернарные, то вам надобно бы определить, что вы вообще называете ассоциативностью.

Я так понял, вы просто хотите построить коммутативную ассоциативную алгебру с единицей над кольцом целых чисел с базисом $\{1,|1\}$? Тогда вам всего-то что и нужно, так это определить ваше $|1 \cdot |1$, а всё остальное индуцируется.

В моем комментарии под стартовой темой рассмотрен пример трехполюсных чисел. Для них сумма тернарная операция. Но потому как она сохраняет свойство ассоциативности, то может быть заменена произвольной последовательностью бинарных операций суммирования.
В стартовой же теме рассмотрен пример трехполюсных чисел, для которых по-другому определена тернарная операция суммирования. Она не обладает свойством ассоциативности, и поэтому не может быть заменена произвольной последовательностью бинарных операций суммирования.
Существуют и другие варианты введения операции суммирования над множеством многополюсных чисел, но мною они пока не рассматривались в связи с необнаружением предполагаемой области приложения к счету в естественных науках.
Четких определений операций суммирования на множестве многополюсных чисел я не приводил, потому как пока не получается. Если Вы сможете привести мне определение операции суммирования над множеством вещественных чисел так, чтобы в нем проглядывалась перспектива обобщения его до операции суммирования над множеством многополюсных чисел, буду Вам очень благодарен, и смогу дать недостающие в этой теме определения.
И ответ на последний вопрос. Нет я не ставил себе задачей построить коммутативную ассоциативную алгебру с единицей над кольцом целых чисел с базисом. Я ставил задачей рассмотреть разные возможные алгебры над множеством многополюсных чисел и определить наиболее перспективные из них, для использования в естественнонаучных изысканиях.

-- 10.11.2013, 18:29 --

Xaositect в сообщении #787112 писал(а):

quest2 в сообщении #787106 писал(а):

Указанной Вами заменой $a$ на $-a$ и $-a$ на $a$, мы сможем лишь перевести первую из этих систем во вторую, а вторую в первую, но никак не сведем все это к одной системе верных выражений.

Это значит, что это на самом деле одна и та же система, просто в разных обозначениях. Это называется "изоморфизм".

Тогда замените мнимую единицу вещественной, а вещественную единицу мнимой в комплексном числе. Разве число от этого превратится в вещественное?

[Urnwestek]

Понимания ваш комментарий лично мне не прибавил, буду благодарен, если вы сделаете вот что:
1) Напишите таблицу умножения и таблицу сложения для элементов $1$,$-1$,$|1$.
2) Напишите, обладает ли сложение ассоциативностью и коммутативностью.
3) Напишите, обладает ли умножение ассоциативностью и коммутативностью.
4) Напишите, присутствует ли дистрибутивность умножения по отношению к сложению.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

разные возможные алгебры над множеством многополюсных чисел

Думаю, что вы немного не так понимаете термин «алгебра», в алгебре «алгебра» вполне себе определённый объект, вот такая вот тавтология. (:

Не подумайте, что я вас в чём-то упрекаю, но можно спросить: на каком уровне вы изучали алгебру? То есть, например, какой учебник читали и до куда дочитали или, например, на каком курсе вы учитесь. Просто вы путаетесь в некоторых (иногда весьма элементарных) понятиях, и чтобы вести с вами разговор неплохо было бы понять ваш уровень.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

Тогда замените мнимую единицу вещественной, а вещественную единицу мнимой в комплексном числе. Разве число от этого превратится в вещественное?

Нет конечно же, это не будет изоморфизмом. А вот если местами $z$ и $\bar{z}$ поменять, то будет.

[quest2]

Portnov в сообщении #787077 писал(а):

Кажется, ничего особо интересного из таких рассуждений выйти не может. Если определить операции так, чтобы в результате получиилось... ну, например, кольцо — то вы получите кольцо, изоморфное декартовому произведению кольца $\mathbb{R}$ на кольцо, у которого в качестве основного множества — множество ваших полюсов-знаков.

Не думаю, что так просто. Во-первых на множестве многополюсных чисел можно определять операции со значительно большею свободой, чем над множеством вещественных чисел. Я это показал на примере двух разных определений операции суммирования (одна в стартовой теме, другая в комментарии). Кроме того операции получаются мультиарными, и я не до конца понимаю, как они могут быть изоморфными бинарным операциям. Но самое интересное в том, что множество многополюсных чисел качественным образом отличается от множества вещественных чисел даже и без определения каких либо операций над ним. Попробуйте представить себе вектор с компонентами записанными, к примеру, трехполюсными числами, и тогда Вы увидите разницу.

[quest2]

Urnwestek в сообщении #787125 писал(а):

Понимания ваш комментарий лично мне не прибавил, буду благодарен, если вы сделаете вот что:
1) Напишите таблицу умножения и таблицу сложения для элементов $1$,$-1$,$|1$.
2) Напишите, обладает ли сложение ассоциативностью и коммутативностью.
3) Напишите, обладает ли умножение ассоциативностью и коммутативностью.
4) Напишите, присутствует ли дистрибутивность умножения по отношению к сложению.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

разные возможные алгебры над множеством многополюсных чисел

Думаю, что вы немного не так понимаете термин «алгебра», в алгебре «алгебра» вполне себе определённый объект, вот такая вот тавтология. (:

Не подумайте, что я вас в чём-то упрекаю, но можно спросить: на каком уровне вы изучали алгебру? То есть, например, какой учебник читали и до куда дочитали или, например, на каком курсе вы учитесь. Просто вы путаетесь в некоторых (иногда весьма элементарных) понятиях, и чтобы вести с вами разговор неплохо было бы понять ваш уровень.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

Тогда замените мнимую единицу вещественной, а вещественную единицу мнимой в комплексном числе. Разве число от этого превратится в вещественное?

Нет конечно же, это не будет изоморфизмом. А вот если местами $z$ и $\bar{z}$ поменять, то будет.

Я так понимаю, Вам больше понравится вариант с ассоциативностью сложения. Рассмотрим его.

1) Таблица сложения:

$1 + (-1) + (|1) = 0$
$(-1) + (-1) + (-1) = (-3)$
$(|1) + (|1) + (|1) = (|3)$
$1 + 1 + 1 = 3$
$1 + (-1) + 1 = 2 + (-1)$
$1 + (|1) + 1 = 2 + (|1)$
$1 + (-1) + (-1) = 1 + (-2)$
$1 + (|1) + (|1) = 1 + (|2)$
$(|1) + (-1) + (-1) = (|1) + (-2)$
$(-1) + (|1) + (|1) = (-1) + (|2)$
$0 + (-1) + (|1) = (-1) + (|1)$
$0 + (-1) + 1 = (-1) + 1$
$0 + (|1) + 1 = (|1) + 1$
$0 + (|1) = (|1)$
$0 + (-1) = (-1)$
$0 + 1 = 1$

 Анология в физическом мире - три цвета пикселов монитора: красный, зеленый и синий. Включили все пикселы - видим белый цвет, это $0$. Включили только красные и зеленые пикселы - видим желтый цвет, это скажем $(-1)+(|1)$ но это выражение не равно нолю. $(-1)$ это чистый красный тогда. Анология физически не совсем верная, там нужно рассматривать спектры испускания, но зато мне кажется понятная. А вот для описания цветовых зарядов кварков подошло бы в точности.

2) Сложение и ассоциативно, и коммутативно.

3) Умножение и ассоциативно и коммутативно.

4) Дистрибутивность умножения по отношению к сложению присутствует.

Если Вас не удовлетворяет конечный вид сумм, могу описать другое определение суммирования на трехполюсных числах, но без ассоциативности. Уверен, что есть и множество других определений  операции суммирования на множестве многополюсных чисел.

Образование имею инженерное с физическим уклоном, ВУЗ окончил с пятеркой по "вышке", однако понимаю, что мой уровень математической подготовки значительно ниже уровня многих из тех людей, которые вступили в эту дискуссию.

[Urnwestek]

Ну коль оно ассоциативно и коммутативно, то и расписывать можно было значения сумм лишь двух элементов. (: Но не суть, всегда ли у вас выполняется тождество $a + (-a) = 0$?


Если всегда, то из первой же строчки и свойств ассоциативности и ноля получим:
$1+(-1)+(|1) = 0$
$(1+(-1))+(|1) = 0$
$0+(|1) = 0$
$|1 = 0$

Наверное, это не совсем то, что вы хотели...

[Xaositect]

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

Xaositect в сообщении #787112 писал(а):

quest2 в сообщении #787106 писал(а):

Указанной Вами заменой $a$ на $-a$ и $-a$ на $a$, мы сможем лишь перевести первую из этих систем во вторую, а вторую в первую, но никак не сведем все это к одной системе верных выражений.

Это значит, что это на самом деле одна и та же система, просто в разных обозначениях. Это называется "изоморфизм".

Тогда замените мнимую единицу вещественной, а вещественную единицу мнимой в комплексном числе. Разве число от этого превратится в вещественное?

Не понимаю, как это связано.

[Someone]

quest2 в сообщении #787129 писал(а):

Во-первых на множестве многополюсных чисел можно определять операции со значительно большею свободой, чем над множеством вещественных чисел.

На множестве действительных чисел операции определять не надо, они там уже определены. Если Вы определите другие операции, это не будет множеством действительных чисел.

А у Вас хотя бы кольцо получается?

Но это всё ерунда, таких "операций" можно напридумывать тьму.
Вы лучше объясните, зачем это вообще нужно. Продемонстрируйте нам содержательную задачу, которую можно было бы решить с помощью "многополюсных чисел" и нельзя было бы решить с помощью обычных чисел (действительных, комплексных и т.д.; у математиков всяких чисел много). Или хотя бы задачу, которую можно было бы решить вашим методом намного проще, чем обычными методами.

quest2 в сообщении #787116 писал(а):

В моем комментарии под стартовой темой рассмотрен пример трехполюсных чисел. Для них сумма тернарная операция. Но потому как она сохраняет свойство ассоциативности, то может быть заменена произвольной последовательностью бинарных операций суммирования.

То есть, тернарная операция совершенно не по существу, и о ней можно забыть. Для действительных чисел ведь тоже можно определить "тернарную операцию" $S(a,b,c)=a+b+c$. Только никто этого не делает, потому что она выражается через бинарную операцию.

quest2 в сообщении #785893 писал(а):

Действие суммирования над двухполюсными числами остается таким-же как и в традиционной алгебре, а вот действие умножения становится не определенным однозначно, и имеет до двух численных вариантов решения.

То есть, умножения как алгебраической операции нет. Или Вы плохо выразились? Уточните.

Но главный вопрос — зачем это нужно? Введение новых понятий в математике всегда оправдывается их применением к решению каких-то задач. У Вас ничего нет, кроме фантазий:

quest2 в сообщении #785893 писал(а):

И несколько слов об общей целессобразности рассмотрения системы многополюсных чисел. Таковая всегда есть, когда данный математический аппарат удается использовать для описания каких-либо физических процессов. Совершенно очевидно, что описанная выше система чисел единственно подходит к описанию процессов в которых имеет место соревнование с аннигиляцией трех либо более субстанций. К примеру с задачей подсчета остатка после столкновения пучка электронов с пучком позитронов легко справляется алгебра традиционных вещественных чисел, но вот в случае, когда бы это было столкновение пучков трех разных взаимноаннигилирующих частиц уже потребовался бы аппарат трехполюсных чисел. Кроме того есть существенная опасность того, что изучая объекты микромира по косвенным данным приборов размеченных в шкалах традиционных вещественных чисел, и не принимая для логического рассуждения возможности разметки шкал приборов в системе многополюсных чисел, ученые теоретически могут упустить из вида не только некоторые принципы работы микромира, но и целые виды элементарных частиц.

Вы просто не знаете, о чём говорите. В математике есть гораздо более полезный аппарат для решения задач физики, чем высосанные из пальца "многополюсные числа".

P.S. Будьте осторожнее с цитированием, чтобы не получить нахлобучку за избыточное цитирование. Цитировать нужно только тот фрагмент сообщения, на который отвечаете.

[Xaositect]

quest2 в сообщении #787156 писал(а):

Анология в физическом мире - три цвета пикселов монитора: красный, зеленый и синий. Включили все пикселы - видим белый цвет, это $0$. Включили только красные и зеленые пикселы - видим желтый цвет, это скажем $(-1)+(|1)$ но это выражение не равно нолю. $(-1)$ это чистый красный тогда. Анология физически не совсем верная, там нужно рассматривать спектры испускания, но зато мне кажется понятная. А вот для описания цветовых зарядов кварков подошло бы в точности.

Давайте тогда обозначать не $-1$, а как-нибудь по-другому. Потому что общепринято знак <<$-$>> обозначает, что $1 + (-1) = 0$, а у Вас, я так понимаю, не так. Предлагаю в честь цветов, $1^R, 1^G$ и $1^B$.
Аддитивная группа получается изоморфна $\mathbb{Z}^2$ с помощью $1^R\mapsto (1, 0)$, $1^G\mapsto (0,1)$, $1^B\mapsto (-1, -1)$

quest2 в сообщении #787156 писал(а):

3) Умножение и ассоциативно и коммутативно.
4) Дистрибутивность умножения по отношению к сложению присутствует.

А как умножение определяется?

[venco]

quest2 в сообщении #786967 писал(а):

Давайте проверим другое равенство

$(-1)*(-1)=-1$

$(-1)*(-1)=-1 \to$
$(-1)*(-1)-(-1)=(-1)-(-1) \to$
$(-1)*(-1)-(1)*(-1)=0 \to$
$((-1)-(1))*(-1)=0 \to$
$(-2)*(-1)=0 \to$
$-2=0 \to$
$-1=1$
Допустимо только при этом условии, т.е. в поле по модулю 2.

[quest2]

Urnwestek в сообщении #787161 писал(а):

Ну коль оно ассоциативно и коммутативно, то и расписывать можно было значения сумм лишь двух элементов. (: Но не суть, всегда ли у вас выполняется тождество $a + (-a) = 0$?


Если всегда, то из первой же строчки и свойств ассоциативности и ноля получим:
$1+(-1)+(|1) = 0$
$(1+(-1))+(|1) = 0$
$0+(|1) = 0$
$|1 = 0$

Наверное, это не совсем то, что вы хотели...

$a + (-a) = 0$ у меня никогда не выполняется;
$a + (-a) + (|a) = 0$ всегда выполняется.
Если бы это были четырехполюсные числа, тогда для получения суммы раной нолю, пришлось бы складывать не менее четырех чисел со всеми разными знаками, но при этом с одинаковыми модулями.

В свете этого не знаю, как аппроксимировать на многополюсные числа Ваши вышележащие рассуждения.

[provincialka]

Возьмите в качестве трех единиц корни кубические из единицы. Их сумма как раз равна 0.

[Urnwestek]

quest2 в сообщении #787180 писал(а):

$a + (-a) = 0$ у меня никогда не выполняется;

Не используйте знак «-» тогда, он сбивает с толку.

Вам, Xaositect указал, что вы определили просто напросто пары целых чисел с покоординатным сложением, с некоторыми переименованиями. Этим самым придуманная вами структура исчерпывается полностью.

[quest2]

Xaositect, неужели Вы не видите, что эти две системы:

$(-1)*(-1)=1$
$(+1)*(+1)=1$
$(+1)*(-1)=-1$ , нейтральный элемент $1$

$(-1)*(-1)=-1$
$(+1)*(+1)=-1$
$(+1)*(-1)=1$ , нейтральный элемент $-1$

и есть вещественная и мнимая части комплексного числа? Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите. Символом i Эйлер и изобразил единицу из второй системы ради удобства восприятия. Математика от такой замены символа не изменилась.

[Xaositect]

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите.

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

$(-1)*(-1)=-1$
$(+1)*(+1)=-1$
$(+1)*(-1)=1$ , нейтральный элемент $-1$

Заменяю: $(-i)(-i) = -i$, $(+i)(+i) = -i$, $(+i)(-i) = i$. Неверно.

quest2 в сообщении #787188 писал(а):

и есть вещественная и мнимая части комплексного числа? Замените во второй системе символ 1, на символ i, и увидите. Символом i Эйлер и изобразил единицу из второй системы ради удобства восприятия. Математика от такой замены символа не изменилась.

Мнимая ось сама по себе как числовая система рассматриваться не может, потому что произведение двух мнимых чисел всегда действительно.