Задача

[Pyphagor]

В рамке расположен стержень длиной $l=2a$.Концы
стержня перемещаются по двум перпендикулярным сторонам
рамки.Рамка вращается с угловой скоростью $\omega = const$.
Стержень начинает движение с вертикального положения.Масса
его - $m$.

Вопрос: Найти кинетическую энергию к моменту горизонтального
положения стержня.

[Zai]

Уравнения движения и уравнения связей будут иметь вид:
$J \ddot {\phi} = -T_1a cos \phi +T_2 a sin \phi
$m \ddot {x} = -T_1 sin \omega t +T_2 cos \omega t
$m \ddot {y} = T_1 cos \omega t +T_2 sin \omega t -mg
$x_0=a sin \phi
$y_0=a- a cos \phi
$ {x} = x_0 cos \omega t -y_0 sin \omega t
$ {y} = x_0 sin \omega t +y_0 cos \omega t
$ \phi - угол между первоначально вертикальной стенкой рамки и стержнем,
$ x_0,y_0 - координаты центра масс в системе координат вращающейся рамки.
Я могу проинтегрировать эти уравнения численно, может кто-то решит их аналитически.

[Андрей123]

Из закона сохранения энергии следует
$T=mga+I*\omega^2/2$,где I -момент инерции стержня относительно оси вращения рамки в начальный момент времени(предполагается, что стержень начинает движение с нулевой относительно рамки скоростью)

[Александр Т.]

Андрей123 писал(а):

Из закона сохранения энергии следует
$T=mga+I*\omega^2/2$,где I -момент инерции стержня относительно оси вращения рамки в начальный момент времени(предполагается, что стержень начинает движение с нулевой относительно рамки скоростью)

Я думаю, что здесь закон сохранения кинетической и (гравитационной) потенциальной энергии стержня не выполняется, так как сила реакции, действующая на стержень со стороны горизонтальной части рамки, совершает работу. Иначе говоря, энергия к стержню поступает от системы (мотора), обеспечивающей постоянство угловой скорости вращения рамки.

Zai писал(а):

Уравнения движения и уравнения связей будут иметь вид:
$J \ddot {\phi} = -T_1a cos \phi +T_2 a sin \phi
...

Не указано, относительно какой оси вычисляется момент инерции. Конечно можно самому разобраться в предложенной системе уравнений и это выяснить, но прежде, чем это сделать, хочу высказать подозрение, что этот момент должен в любом случае (если направление оси постоянно) зависеть от времени. Но тогда вышепроцитированное уравнение должно иметь другой вид. (А если направление оси зависит от времени, то вид этого уравнения, вроде бы, тем более должен быть другим.)

Вообще эта задача - достаточно хитрая на мой взгляд. Я подозреваю, что ответ должен быть достаточно простой, но, чтобы его получить, нужно потратить некоторое время и приложить некоторые усилия.

[Zai]

Zai писал(а):

Уравнения движения и уравнения связей будут иметь вид:
$J \ddot {\phi} = -T_1a cos \phi +T_2 a sin \phi
...

Александр Т. писал(а):

Не указано, относительно какой оси вычисляется момент инерции.

Я не знаю как распределена масса по длине стержня, однако предположил что центр масс находится в центре стержня. Чему равен момент инерции нужно узнавать у автора. Момент инерции вычисляется всегда относительно центра масс. Уравнение записано в глобальной системе координат, т. к. угловая скорость рамки постоянна, член с угловым ускорением рамки в вышеприведенном уравнении отсутствует.

[Андрей123]

Александр Т. писал(а):

Я думаю, что здесь закон сохранения кинетической и (гравитационной) потенциальной энергии стержня не выполняется, так как сила реакции, действующая на стержень со стороны горизонтальной части рамки, совершает работу. Иначе говоря, энергия к стержню поступает от системы (мотора), обеспечивающей постоянство угловой скорости вращения рамки.

Я тоже сначала так думал, но если рассматривать стержень в системе отсчёта, связанной с рамкой(сила инерции будет приложена в плоскости рамки), то из принципа Даламбера следует, что силы, перпендикулярные плоскости рамки не будут совершать работы. Моё решение точно справедливо, когда стержень в первоначальный момент времени находится у оси вращения рамки, если это не так, то в справедливости формулы я не уверен(надо проверить), однако сила инерции в любом случае будет потенциальной, и можно применить закон сохранения энергии стержня в системе отсчёта, связанной с рамкой

[Zai]

Задача поставлена некорректно, т. к. в первый момент времени произойдет удар по типу удара о жесткую поверхность стержня под углом к плоскости. Конец мгновенно остановится и будут бесконечные ускорения. В нашем случае будет мгновенное ускорение одного из концов стержня чтобы удовлетворить условию постоянства угловой скорости рамки.

[Андрей123]

Zai писал(а):

Задача поставлена некорректно, т. к. в первый момент времени произойдет удар по типу удара о жесткую поверхность стержня под углом к плоскости. Конец мгновенно остановится и будут бесконечные ускорения. В нашем случае будет мгновенное ускорение одного из концов стержня чтобы удовлетворить условию постоянства угловой скорости рамки.

Наверное, это просто идеализация. В первоначальный момент времени концы стержня уже находятся на стенках рамки, однако угол отклонения от вертикали очень мал, так что мы можем считать его равным нулю.

[Pyphagor]

Честно говоря не знаю - корректно или не корректно(не механик).
Но задачу профессорша сформулировала именно так.
Единственная поправка - найти кинетическую энергию стержня
как функцию от угла образованного стержнем и вертикальной
стороной рамки.

Формула плоского движения не годится.
Более того, я встретил такую формулу кинетической энергии
в общем случае движения:

$ T=0.5*M(v_{c})^2+0.5*(I_{x}(w_{x})^2 + I_{y}(w_{y})^2 + I_{z}(w_{z})^2 - 2I_{yz}w_{y}w_{z} - 2I_{zx}w_{z}w_{x} - 2I_{xy}w_{x}w_{y})$

где $M$ - масса тела, $v_{c}$ - скорость его центра масс (ведь абсолютная?- правильно я понимаю)
$ I_{x},I_{y},I_{z}$ - осевые моменты инерции
$ I_{xy},I_{yz},I_{xz} $ - центробежные моменты инерции твердого тела
$ w_{x},w_{y},w_{z} $ - проекции мгновенной (абсолютной) угловой скорости твердого тела на оси координат.

Однако в нашей задаче вектора угловых скоростей(оси переносного и относительного вращений) перпендикулярны и как складывать их не знаю
(в каждом убечнике который я просматривал сложение двух угловых скоростей производилось в следующих случаях:
1) когда оси вращений (анти-)параллельны; 2) когда пересекаются.)
Что делать?

[Андрей123]

Pyphagor писал(а):

Что делать?

Рассмотрите движение стержня в плоскости рамки, добавив при этом силу инерции. Примените теорему об изменении кинетической энергии. Получите зависимость кинетической энергии стержня относительно рамки от угла. Чтобы получить полную кинетическую энергию к ней надо ещё добавить энергию вращательного движения вместе с рамкой. Или более просто: можно учесть, что сила инерции потенциальна с потенциалом $I\omega^2/2$, где I - момент инерции стержня относительно оси вращения рамки. Т.к. сила тяжести также потенциальна, то можно написать закон сохранения энергии движения стержня относительно рамки

$$T+mgh-I\omega^2/2=const$$

, где h-высота центра тяжести стержня.