Почему уравнения движения именно 2-го порядка?

[KAM]

Как я понимаю, здесь рассматривается механика Ньютона. Если рассматривать Ньютоновкую механику то, вообще говоря постулируется: "Закон II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua visilia imprimitur." ((с) И. Ньютон) Т. е.: "Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует."

[zbl]

zbl писал(а):

вариация действия имеет вид:

$$ \delta S = \left \frac{\partial L}{\partial \dot x} \delta x \right|_{t_1}^{t_2} + \left \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} \right) \delta\dot x \right|_{t_1}^{t_2} + \int\limits_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} \right)\delta x dt $$

Действие просто не будет иметь минимума, если не равны нулю первые два слагаемых: производные по времени вариаций не зависят от самих вариаций.

У нас на самом деле система двух уравнений в качестве уравнений движения:

$$ \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

$$ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

Не правда наша.
Скобка должна зануляться только на концах траектории, даже -- на одном из концов.
Так что правильно будет писать уравнения движения в виде

$$ \left \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} \right) \right|_{t=t_2} = 0 $$

$$ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

Траектория, удовлетворяющая этим условиям, зануляет вариацию действия.

У нас $L(x,\dot x,\ddot x) = \mathcal{L}(x,\dot x) + \frac{\partial \Lambda(x,\dot x)}{\partial \dot x}\ddot x$, что эквивалентно $\mathcal{L}(x,\dot x) + \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$ тогда второе уравнение эквивалентно уравнению второго порядка, как я писал в самом начале.
Итого:

$$ \left \left( \frac{\partial \Lambda(x,\dot x)}{\partial \dot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial \Lambda(x,\dot x)}{\partial \dot x} \right) \right|_{t=t_2} = 0 $$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\partial^2\Lambda}{{\partial x}^2}\dot x - \frac{d}{dt}\left \{ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot x} - \frac{\partial^2\Lambda}{\partial x\partial\dot x}\dot x - \frac{\partial\Lambda}{\partial x} \right \} = 0$$

Тут три константы в начальных условиях, как и должно быть...

Добавлено спустя 2 часа 37 минут 50 секунд:

zbl писал(а):

Тут три константы в начальных условиях, как и должно быть...

Но!
Решение уравнения 2-го порядка содержит две произвольные константы (например, начальные скорость и координату).
Если решать сначала уравнение, а потом налагать на решение условие удовлетворять первому равенству, то ничего не выйдет -- свободных констант не осталось.
Если брать уравнение 3-го порядка -- то же самое.
Что-то я запутался...

У нас три начальных условия: координата, скорость и ускорение.
Первое равество даёт связь между ними (я взял момент времени $t_2$, но можно взять и начальный -- $t_1$) .
Тогда уравнение хоть 2-го, хоть 3-го порядка будет несовместно с этим условием, если, конечно, условие не тривиальное (не следует из уравнения).

Допустим, что равенства таки совместны.
Тогда либо первое следует из второго (выполняется для всех траекторий), либо оно выполняется только для части решений второго уравнения.
Но, если известны начальные скорость и координата, то начальное ускорение однозначно определиться из второго уравнения.
При этом кроме того, что первое равенство наложит на значение начального ускорения своё условие, ещё у нас есть значение для ускорения из начальных условий.
Даже, если первое равенство тривиально, это не решает проблемы начальных условий: у нас уравнение 2-го порядка, а начальных условий три -- координата, скорость и ускорение.

Означает ли это, просто-напросто, что нет и не может быть здесь уравнения третьего порядка, а должно быть только уравнение четвёртого порядка?
Но тогда детерминизму можно помахать синим платочком...

[PSP]

Пусть функция Лагранжа будет задана параметрически: $L=F_1(\tau);(\dot x)^2+(\dot y)^2+(\dot z)^2=F_2(\tau)$ .
Как тогда записать уравнения Эйлера с ней:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0 $$

$$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y} = 0 $$

$$\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot z} = 0 $$

?

[zbl]

PSP писал(а):

Пусть функция Лагранжа будет задана параметрически: $L=F_1(\tau);(\dot x)^2+(\dot y)^2+(\dot z)^2=F_2(\tau)$ .
Как тогда записать уравнения Эйлера с ней?

$$\frac{\partial L}{\partial\dot x} = \frac{\partial F_1}{\partial\tau}\frac{\partial\tau}{\partial\dot x}$$

А $\frac{\partial\tau}{\partial\dot x}$ найти, продифференциировав второе уравнение.

[Архипов]

Тема про механику Лагранжа. Откуда взялась функция такая - лагранжиан? Ведь понятие энергии еще не было в физике того времени. Предлагаю простейший аксиоматический вывод уравнений Лагранжа.

Берем физическую величину - длину Х, ее производные по времени v=dx/dt и ускорение a=dv/dt.
Следствия: dv/dx = a/v, dt(x) = dx/v(x), dt(x) = dv/a(x),
также получается замечательная пропорция
v*dv = a*dx , или -- v(x)*dv(x)=a(x)*dx -- ,
то есть дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданно обширной.

-- Вывод закона сохранения механической энергии. --

Умножим обе части уравнения v*dv = a*dx на постоянную величину m, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной.
Вот вам и лагранжиан!

По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему, дифференциальные уравнения для любой физической величины Y(x), ее первой y'(x) и второй y''(x) производных. Например: из определений силы тока и заряда получаем Q(t), Q'(t)=I Q''(t)=i.
Следствия: dt = dq/I(g), dt = dI/i(q),
I*dI=i*dq
-- Вывод закона сохранения электрической энергии. --

Умножим обе части уравнения на постоянную величину L, то есть индукцию, и проинтегрируем уравнение. Получим L*I^2/2 = L*i*q. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии.
А если умножим уравнение на постоянную R (сопротивление), то получим закон сохранения электрической мощности R*I^2/2 = R*i*q. Нет такого закона? Но вывод безошибочен! Значит - должен быть.

Аналогично - из определений угловой скорости w=df/dt и углового ускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножим ее на постоянные массу, радиус в квадрате и проинтегрировав, получаем формулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f. Коротко и убедительно, по сравнению с доказательством через множество трехэтажных формул в теореме Нетер. Кстати, через определяющие формулы угловой скорости dv/dr=w=v/r можно вывести очень простое доказательство закона сохранения момента импульса m*( r*dv+v*dr)=0 или m*v*r=Const.

Уважаемый zbl ищет 3 и 4 порядок уравнений. По методу, изложенному выше, находим:
a*da=x'''*dv - третий порядок. И т.д.