2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 блок, цепь
Сообщение06.11.2013, 00:10 


10/02/11
6786
В вертикальной плоскости находится блок в форме однородного диска массы $M$ радиуса $r$. Блок может свободно вращаться вокруг своей неподвижной оси.

Через блок перекинута однородная цепь массой $m$ длиной $L$. Коэффициент сухого трения цепи о блок равен $\gamma$.

В начальный момент времени оба конца цепи свисают с блока, один конец ниже другого на высоту $h$; блок и цепочка покоятся. Система находится в поле силы тяжести.

При каких условиях на параметры задачи цепочка заскользит по блоку сразу после того, как систему предоставили самой себе?

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение06.11.2013, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Где, говорите, блок протыкает его неподвижная ось?

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение07.11.2013, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Поскольку ТС молчит, принимаю волевое решение постановить ось в геометрический центр диска. Тогда, если нигде не наврал с арифметикой, выйдет что-то наподобие
$$\[
\left( {\frac{{3ML}}
{{5mr}} + \pi } \right)\left[ {\frac{{l + h}}
{r} - e^{\gamma \pi } \frac{l}
{r} - \frac{{2\gamma }}
{{\gamma ^2  + 1}}\left( {e^{\gamma \pi }  + 1} \right)} \right] > \frac{h}
{r}\frac{{e^{\gamma \pi }  - 1}}
{\gamma }
\]
$$
где $l = \frac{1}{2}\left( {L - h - \pi r} \right)$

(Оффтоп)

Тому олимпионику, коий сие решит надобно будет медаль дать "За бесстрашие пред лицом выкладок" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение07.11.2013, 23:48 


10/02/11
6786
Олимпиада это один формат, "Олимпиадные задачи" на интернет-форуме это другой формат. Прорешаю, сообщу, что получил.

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение08.11.2013, 17:37 


10/02/11
6786
У меня получилось так$${\[\displaystyle {{\rm e}^{\gamma\,\pi }} \left( -a\rho\, \left( g+r\epsilon \right) -{\frac {r\rho\, \left( 2\,g{\gamma}^{2}+r\epsilon\,{\gamma}^{2}+r\epsilon \right) }{ \left( {\gamma}^{2}+1 \right) \gamma}} \right) \\
\mbox{}+{\frac {r\rho\, \left( -2\,g{\gamma}^{2}+r\epsilon\,{\gamma}^{2}+r\epsilon \right) }{ \left( {\gamma}^{2}+1 \right) \gamma}}>(a+h)\rho (r\epsilon-g)\]}$$
где $$\rho=m/L,\quad 2a+h+\pi r=L,\quad \epsilon=\frac{hrg\rho}{J+mr^2}$$
$J$ -- момент инерции диска относительно оси проходящей через центр

если мы с мэплом не наврали в арифметике :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение09.11.2013, 05:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Второму высказавшемуся предоставляется почётное право сравнить свой результат с результатом первого высказавшегося.

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение09.11.2013, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Oleg Zubelevich в сообщении #786340 писал(а):
У меня получилось так

Каким боком туда залезло ускорение свободного падения?

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение09.11.2013, 12:03 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Оно там сокращается, все нормально.
Еще и на $\rho$ можно сократить, кстати (хотя полностью от нее, в отличие от $g$, не избавиться).

 Профиль  
                  
 
 Re: блок, цепь
Сообщение09.11.2013, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Задачу хорошо бы "уполовинить", заменив блок на бревно.
Будет вполне олимпиадно - для 2-го семестра :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group