блок, цепь

[Oleg Zubelevich]

В вертикальной плоскости находится блок в форме однородного диска массы $M$ радиуса $r$. Блок может свободно вращаться вокруг своей неподвижной оси.

Через блок перекинута однородная цепь массой $m$ длиной $L$. Коэффициент сухого трения цепи о блок равен $\gamma$.

В начальный момент времени оба конца цепи свисают с блока, один конец ниже другого на высоту $h$; блок и цепочка покоятся. Система находится в поле силы тяжести.

При каких условиях на параметры задачи цепочка заскользит по блоку сразу после того, как систему предоставили самой себе?

[Утундрий]

Где, говорите, блок протыкает его неподвижная ось?

[Утундрий]

Поскольку ТС молчит, принимаю волевое решение постановить ось в геометрический центр диска. Тогда, если нигде не наврал с арифметикой, выйдет что-то наподобие

$$\[ \left( {\frac{{3ML}} {{5mr}} + \pi } \right)\left[ {\frac{{l + h}} {r} - e^{\gamma \pi } \frac{l} {r} - \frac{{2\gamma }} {{\gamma ^2 + 1}}\left( {e^{\gamma \pi } + 1} \right)} \right] > \frac{h} {r}\frac{{e^{\gamma \pi } - 1}} {\gamma } \] $$

где $l = \frac{1}{2}\left( {L - h - \pi r} \right)$

(Оффтоп)

Тому олимпионику, коий сие решит надобно будет медаль дать "За бесстрашие пред лицом выкладок"

[Oleg Zubelevich]

Олимпиада это один формат, "Олимпиадные задачи" на интернет-форуме это другой формат. Прорешаю, сообщу, что получил.

[Oleg Zubelevich]

У меня получилось так

$${\[\displaystyle {{\rm e}^{\gamma\,\pi }} \left( -a\rho\, \left( g+r\epsilon \right) -{\frac {r\rho\, \left( 2\,g{\gamma}^{2}+r\epsilon\,{\gamma}^{2}+r\epsilon \right) }{ \left( {\gamma}^{2}+1 \right) \gamma}} \right) \\ \mbox{}+{\frac {r\rho\, \left( -2\,g{\gamma}^{2}+r\epsilon\,{\gamma}^{2}+r\epsilon \right) }{ \left( {\gamma}^{2}+1 \right) \gamma}}>(a+h)\rho (r\epsilon-g)\]}$$

где

$$\rho=m/L,\quad 2a+h+\pi r=L,\quad \epsilon=\frac{hrg\rho}{J+mr^2}$$

$J$ -- момент инерции диска относительно оси проходящей через центр

если мы с мэплом не наврали в арифметике

[Утундрий]

Второму высказавшемуся предоставляется почётное право сравнить свой результат с результатом первого высказавшегося.

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #786340 писал(а):

У меня получилось так

Каким боком туда залезло ускорение свободного падения?

[EtCetera]

Оно там сокращается, все нормально.
Еще и на $\rho$ можно сократить, кстати (хотя полностью от нее, в отличие от $g$, не избавиться).

[nikvic]

Задачу хорошо бы "уполовинить", заменив блок на бревно.
Будет вполне олимпиадно - для 2-го семестра