Неравенство

[arqady]

Для действительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+2}+\frac{b}{b^2+c^2+2}+\frac{c}{c^2+a^2+2}\leq\frac{3}{4}$$

[Edward_Tur]

Это неравенство следует из неравенства

$$\sin \alpha\cos \beta+\sin \beta\cos \gamma+\sin \gamma\cos \alpha\le 3/2$$

[arqady]

Да!
Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

[TR63]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

Для того, чтобы доказать неравенство, достаточно ввести условие $a^2\ge\frac5 4$.(Доказывать можно без использования тригонометрии; неравенство из первого поста также можно доказывать без тригонометрии; будет видно, почему во втором неравенстве требуется условие.)

[kknop]

А можно для тупых расшифровать, как первое неравенство свелось к тригонометрии? Я смысла углов там не понимаю.

[Edward_Tur]

$\frac{a}{a^2+b^2+2}+\frac{b}{b^2+c^2+2}+\frac{c}{c^2+a^2+2}\le\frac{a}{2\sqrt {(a^2+1)(b^2+1)}}+\frac{b}{2\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)}}+\frac{c}{2\sqrt{(c^2+1)(a^2+1)}}=$
$=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha}{2}\le\frac{3}{4}$
Последнее неравенство достаточно известное (для доказательства достаточно применить неравенство Коши-Буняковского-Шварца и неравенство Коши).
Можно, конечно, и без тригонометрии - будет несколько короче, но я остановился на известном неравенстве.

[Edward_Tur]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

$$1-\frac{a}{a^2+b^2+1}-\frac{b}{b^2+c^2+1}-\frac{c}{c^2+a^2+1}\ge1-\frac{a}{2a+b^2}-\frac{b}{2b+c^2}-\frac{c}{2c+a^2}=$$

$$=\frac{a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2-3}{(2a+b^2)(2b+c^2)(2c+a^2)}\ge0.$$

[TR63]

Edward_Tur,
очень красиво (даже нет слов).
У меня доказательство для случая, когда только $a^2\ge\frac5 4$, очень страшненькое. Красивого не знаю.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Да!
Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

$$a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z} , c=\frac{z}{x} $$ $$LHS \le \sum_{cyc}\frac{xyz^2}{x^2z^2+y^2z^2+y^4}\le \frac{xyz(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} \le 1$$

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Да!
Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

$$a=\frac{x}{y} , b=\frac{y}{z} , c=\frac{z}{x} $$

$$LHS = \sum_{cyc}\frac{xyz^2}{x^2z^2+y^2z^2+y^4}\le \sum_{cyc} \frac{xyz^2}{2xyz^2+y^4} = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{y^4}{2xyz^2+y^4} \le $$ $$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^4+y^4+z^4+2(xyz^2+yzx^2+zxy^2)} \le 1$$

[arqady]

Ещё вот такая красота:
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ докажите, что

$$3\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\geq4\sqrt[4]{ab+ac+bc}$$

[TR63]

arqady,
проверяю на вольфраме при $a=b=c$. Не получается непрерывной области. Она получается, если правую часть увеличить. Заменить (3) на (3.1).

[arqady]

TR63 в сообщении #789742 писал(а):

arqady,
проверяю на вольфраме при $a=b=c$. Не получается непрерывной области. Она получается, если правую часть увеличить. Заменить (3) на (3.1).

Что-то я справа не вижу тройки и объясните мне, пожалуйста, что Вы понимаете под непрерывной областью?

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #787434 писал(а):

Ещё вот такая красота:
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ докажите, что

$$3\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\geq4\sqrt[4]{ab+ac+bc}$$

$p = a+b+c$ , $q= ab+bc+ca$ , $r=abc$

Тогда неравенство перепишется в виде : $3 \sqrt[3]{(p-r)^2+(q-1)^2} \geq4 \sqrt[4]{q}$

1. При $q > 9$ оно очевидно выполняется.

2. При $0\le q\le 9 $

$$p \ge \sqrt{3q} \ge \left (\frac{q}{3}\right)^\frac{3}{2}\ge r$$

$$LHS \ge q+3 \ge 4 \sqrt[4]{q}$$

Равенство при : $a=b=c= \frac{\sqrt{3}}{3}$

[arqady]

Хорошее доказательство!