Константа или не константа?

[Ktina]

Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ непрерывна в точке $x=1$ и удовлетворяет тождеству

$$f(x+1)=f(2x+1)$$

Обязательно ли эта функция постоянна?

[hippie]

Ответ: обязательно.

$f(1+x)=f(1+\frac x{2^n});\quad \lim\limits_{n\to\infty}f(1+\frac x{2^n})=f(1).$