про равномерную сходимость в ЦПТ

[ecartman]

Здравствуйте, вопрос по поводу Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ): ЦПТ фактически утверждает что последовательность характеристических функций соответствующих $(S_n-\mathbb{E}[S_n])/\sqrt{\mathrm{Var}[S_n]}$, где $S_n=\sum_{i=1}^n\xi_i$, сходится к характеристической функции нормального распределения. Из этого следует что соответствующая последовательность распределений сходится слабо к нормальному распределению, причем вообще говоря сходимость имеет место в точках непрерывности предельного распределения, но так как в данном случае пределеньное распределение всюду непрерывно, то можно заключить, что сходимость на самом деле равномерная. Пытаюсь это показать используя следующее неравенство Esseen'а:

$$ \sup_{x\in\mathbb{R}}|F(x)-G(x)| &\le \dfrac{2}{\pi}\int_0^T\dfrac{|\phi_F(t)-\phi_G(t)|}{t}dt+ \dfrac{24}{\pi T}\sup_{x\in\mathbb{R}}|G'(x)|, $$

для любых $T>0$. Здесь подразумевается, что распределение $G$ имеет плотность и эта плотность ограничена. Для нормального распределения это очевидно так.
Тогда если заменить $F(x)$ на $F_n(x)$ - ф-ю распределения величины $(S_n-\mathbb{E}[S_n])/\sqrt{\mathrm{Var}[S_n]}$, а $G(x)$ на $\Phi(x)$ и воспользоваться этим неравенством, то из ЦПТ будет следовать что $\phi_{F_n}(t)\to\phi_{\Phi}(t)$, т.е., выражение под интегралом будет нулем, а второй член в неравенстве можно устремить к нулю взяв большое $T>0$. Проблема только в том, что если $T$ большое то не факт что интеграл будет сходиться к нулю. Как это можно устранить? Спасибо.

[--mS--]

В каком смысле "не факт"? Интеграл при произвольном $T$ стремится к нулю при $n\to\infty$. Т.е. верхний предел при $n\to\infty$ равномерного расстояния между $F_n(x)$ и $G(x)$ не больше второго слагаемого. А уже потом начинайте увеличивать $T$.

[ecartman]

Тогда можно ли сделать желаемый вывод из следующего неравенства:

$$ \sup_x|F(x)-G(x)| \le \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{|\phi_F(t)-\phi_G(t)|}{|t|}dt? $$

Просто это неравенство гораздо проще установить, чем нер-во Esseen'а.
В данном случае интеграл берется по всей области $\mathbb{R}$. Но из ЦПТ следует что $|\phi_F(t)-\phi_G(t)|\to0$. Следует ли отсюда равномерная сходимость?
Спасибо.

[--mS--]

Нет, конечно. Ещё раз: интеграл в первом сообщении - по ограниченному множеству. При любом $T$ он стремится к нулю с ростом $n$. Интеграл в последнем сообщении даже сходиться не обязан.

[ecartman]

Понятно, спасибо

[--mS--]

Но, вообще говоря, почему бы не установить равномерность сходимости безо всяких неравенств Эссеена? Просто из поточечной сходимости функций распределения к непрерывной функции? Например, так: берём произвольное целое $M> 0$, точки $-\infty=x_0 < x_1 < \ldots < x_{M-1}<x_M=+\infty$ такие, что $G(x_k)=\frac{k}{M}$.
В каждой точке есть сходимость $F_n(x_k)$ к $G(x)$. Точек конечное число, поэтому можно найти $n_0$ такое, что для всех $n\geqslant n_0$ и всех $k=0,\ldots, M$

$$|F_n(x_k)-G(x_k)|\leq \frac1M.$$

Для произвольного $x\in [x_{k-1},x_k)$ оцениваем разность функций распределения в точке $x$ сверху и снизу как

$$F_n(x)-G(x)\leqslant F_n(x_k)-G(x_{k-1})= F_n(x_k)-G(x_k)+\frac{1}{M}\leqslant \frac2M,$$

$$F_n(x)-G(x)\geqslant F_n(x_{k-1})-G(x_k)= F_n(x_{k-1})-G(x_{k-1})-\frac{1}{M}\geqslant-\frac2M.$$

Соответственно, супремум модуля разницы этих функций при таких $n\geqslant n_0$ по $x\in [x_{k-1},x_k)$ не превышает $\frac2M$, ну и глобальный супремум тоже:

$$\sup\limits_x |F_n(x)-G(x)|\leqslant \frac2M.$$

Т.е. для произвольного $M$ мы нашли $n_0$, начиная с которого ... (и т.д. и т.п.).

[ecartman]

Да, спасибо, так действительно проще существенно, потому что неравенство Esseen'а само по себе еще не так просто доказать.