Большие и маленькие знаменатели

[Ktina]

(по мотивам задачи И. Рубанова)

а) Существуют ли такие четыре попарно различные несократимые дроби, что знаменатель каждой из них больше 200, а знаменатель любой суммы двух, трёх или четырёх этих дробей после сокращения становится меньше 100?

б) Существуют ли такие четыре попарно различные несократимые дроби, что знаменатель каждой из них больше 20, а знаменатель любой суммы двух, трёх или четырёх этих дробей после сокращения становится меньше 10?

[Ktina]

Решение пункта а):

$$\dfrac{139}{210},\quad\dfrac{169}{210},\quad\dfrac{181}{210},\quad\dfrac{211}{210}$$

У меня такое ощущение, что её устроила цена что пункт б) решения не имеет.

[kknop]

Ktina в сообщении #785558 писал(а):

Решение пункта а):

$$\dfrac{139}{210},\quad\dfrac{169}{210},\quad\dfrac{181}{210},\quad\dfrac{211}{210}$$

У меня такое ощущение, что её устроила цена что пункт б) решения не имеет.

1) почему 211, а не 1?
2) а как выглядела оригинальная задача И.Рубанова?

[Ktina]

kknop в сообщении #785597 писал(а):

1) почему 211, а не 1?
2) а как выглядела оригинальная задача И.Рубанова?

1) Потому что почти пятимесячный отказ от курения напрочь лишил меня способности решать олимпиадные задачи по математике.
2) http://mmmf.msu.ru/archive/20112012/z6/7.html (4 тур, задача 1).

[kknop]

То бишь б) - это и есть задача Рубанова, а а) - ее облегченная версия, да?

[Ktina]

kknop в сообщении #785710 писал(а):

То бишь б) - это и есть задача Рубанова, а а) - ее облегченная версия, да?

Не совсем. В пункте б) второе число 20 заменено на 10, а в пункте а) вместо двух двадцаток -- 200 и 100.

[kknop]

Ktina в сообщении #785855 писал(а):

Не совсем. В пункте б) второе число 20 заменено на 10, а в пункте а) вместо двух двадцаток -- 200 и 100.

Понял. То бишь у Рубанова был вопрос о том, может ли любая сумма дробей быть сокращаемой, а у Вас - о том, могут ли суммы сокращаться не менее чем в 3 раза (20 и 10 здесь все-таки чуть от лукавого, ну то есть для затушевки смысла вопроса).

Различие дробей тоже не имеет значения, потому что всегда можно к одной из равных дробей добавить целое число и получить разные дроби с теми же свойствами в контексте данной задачи.

Пример (1/60, 7/60, 43/60, 49/60) говорит о том, что 200 в условии задачи вполне можно заменить на 42
Можно ли заменить на что-то еще меньшее, я пока не понимаю.

-- Чт ноя 07, 2013 11:21:57 --

Ktina в сообщении #785855 писал(а):

Не совсем. В пункте б) второе число 20 заменено на 10, а в пункте а) вместо двух двадцаток -- 200 и 100.

Понял. То бишь у Рубанова был вопрос о том, может ли любая сумма дробей быть сокращаемой, а у Вас - о том, могут ли суммы сокращаться не менее чем в 3 раза (20 и 10 здесь все-таки чуть от лукавого, ну то есть для затушевки смысла вопроса).

Различие дробей тоже не имеет значения, потому что всегда можно к одной из равных дробей добавить целое число и получить разные дроби с теми же свойствами в контексте данной задачи.

Пример (1/60, 7/60, 43/60, 49/60) говорит о том, что 200 в условии задачи вполне можно заменить на 42
Можно ли заменить на что-то еще меньшее, я пока не понимаю.

[Руст]

Хорошо сокращаются попарные суммы дробей
$\frac{x}{x^2-y^2},\frac{y}{x^2-y^2}, 1-\frac{x}{x^2-y^2},1-\frac{y}{x^2-y^2}$,
Если х,у взаимно простые числа разной четности, например у=1, х - четное и большое. Тогда знаменатели попарных сумм
сокращаются примерно до квадратного корня знаменателя.

[kknop]

Руст в сообщении #785998 писал(а):

Хорошо сокращаются попарные суммы дробей
$\frac{x}{x^2-y^2},\frac{y}{x^2-y^2}, 1-\frac{x}{x^2-y^2},1-\frac{y}{x^2-y^2}$,
Если х,у взаимно простые числа разной четности, например у=1, х - четное и большое. Тогда знаменатели попарных сумм
сокращаются примерно до квадратного корня знаменателя.

В таком примере сократимы только попарные суммы, а тройные несократимы вообще. И так будет всегда, когда хотя бы одна попарная сумма равна целому числу.