Полный дифференциал.

[songbird]

Всем добрый день. Такой вопрос:
В "Курсе общей физики" Савельева написано на стр.100(Механика), что:
Полным дифференциалом однозначной функции $f(x,y,z)$ называется приращение , которое получает эта функция при переходе от точки с координатами $x,y,z$ в соседнюю точку с координатами $x+dx,y+dy,z+dz$.
И по определению это приращение равно:
$df(x,y,z)=f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)$.
Вот тут я не пойму, почему именно $df(x,y,z)=f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)$? Ведь аргумент $x$ - независимая переменная, а значит $\Delta x=dx$.Тогда получается $df(x,y,z)=f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$.
Отсюда получается, что полный дифференциал функции равен приращению функции при $\Delta x,\Delta y,\Delta z$,но ведь это же неверно, так ведь? Или я что-то не понимаю?

[gris]

Полный дифференциал это, конечно, линейная часть приращения. Но где это у Савельева? Надо указывать параграф, потому что номера страницы в разныз изданиях могут не совпадать.

[Oleg Zubelevich]

народная забава: изучение математики по учебнику физики

[warlock66613]

songbird в сообщении #785499 писал(а):

при переходе от точки с координатами $x,y,z$ в соседнюю точку

"В соседнюю" - значит $dx$, $dy$, $dz$ надо считать бесконено малыми, то есть автоматически остаётся только линейная часть.

-- 06.11.2013, 09:52 --

songbird в сообщении #785499 писал(а):

полный дифференциал функции равен приращению функции при $\Delta x,\Delta y,\Delta z$,но ведь это же неверно, так ведь

Если приращения бесконечно малы, то верно.

[songbird]

Это курс общей физики в 5 книгах. 1 том - Механика. У самого бумажное издание и как раз это там написано.
Курс общей физики - 2008 - 336с. Глава 3:"Законы сохранения.Потенциальная энергия во внешнем поле сил".стр100.
Посмотрел в трехтомнике,электронная версия. Там про дифференциал вообще ничего нету.

-- 06.11.2013, 10:08 --

warlock66613 в сообщении #785512 писал(а):

"В соседнюю" - значит $dx$, $dy$, $dz$ надо считать бесконено малыми, то есть автоматически остаётся только линейная часть.

Но ведь это математически неверная запись,же? Почему Савельев не упомянул, что именно в приближении получается такое равенство? Может это просто опечатка в новом издании? Ведь в старом такого нету.

[warlock66613]

songbird в сообщении #785513 писал(а):

Но ведь это математически неверная запись,же?

Ну если использовать нестандартный анализ, то, наверно, верная.

songbird в сообщении #785513 писал(а):

Почему Савельев не упомянул, что именно в приближении получается такое равенство?

Он написал, что точка "соседняя", значит упомянул. И это не приближение, там всё точно.

[provincialka]

Такие вещи можно читать, только если уже знаешь, что такое дифференциал. Физикам же читают математику. Неужели на таком же уровне?

[gris]

Я думаю, что сам Савельев прекрасно знает строгие математические определения обсуждаемых (кстати, вот только что заметил, что слово "сабж" произошло от перестановки букв слова "обсуждать") понятий, но может даже намеренно уходить от этой строгости. Тут надо читать книжку с начала и вникать в язык автора.

Вот, кстати, понятие "соседний". В математике оно используется только в дискретных случаях (соседний узел, соседние члены последовательности, соседние карты). А в физических текстах? Я тут благоразумно стёр дальнейшие рассуждения, но они онованы на реальных текстах.

[provincialka]

Да что там физики. Искала в Крамере, чему равно среднее некоей выборочной характеристики. Смотрю - написано точное равенство (удивилась). Но к нему приписка: точность этого равенства такая же как в формуле такой-то. Смотрю, а там $+O(\frac1n)$.