Есть ли такие свойства предела?

[Nemiroff]

Otta в сообщении #784879 писал(а):

Логарифм предела существует, значит, предел положителен, значит, функция положительна (локально, например, в некоторой проколотой окрестности), значит,...

Действительно. Ну и ладно.

[Urnwestek]

Otta в сообщении #784879 писал(а):

Логарифм предела существует, значит, предел положителен, значит, функция положительна (локально, например, в некоторой проколотой окрестности), значит,...

Кстати да, почему вы тогда говорили:

Otta в сообщении #784868 писал(а):

Зачем ему быть больше нуля? Он вполне может быть и нулевым. Неотрицательной должна быть $f$, если мы действительно хотим считать этот предел для вещественных положительных значений показателя.

?

Ведь если $a=0$, и $f(x) \to 0$, то будет $0^0$, а если положителен $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ то в некоторой проколотой окрестности $x_0$ $f(x)$ тоже положительна, и требование на $f>0$ не нужно, да? Я что-то запутался...

[Otta]

Urnwestek
Если Вы говорите о третьей задаче, которую мы, в основном, и обсуждали, то еще раз:
(1) если предел показателя нулевой, то нужна положительность предела основания.
(2) если предел показателя ненулевой, то достаточно более слабого условия, положительности самого основания.
Даже если во втором случае предел равен нулю (что возможно), это не повредит.

Пределы основания $f$ и показателя $g$ подразумеваются конечными.

[Urnwestek]

Не подумайте, что я с вами спорю, у меня кое-что в голове перемешалось, разве положительность основания не более, наоборот, сильное условие, нежли положительность предела основания в некоторой точке? Ведь положительность предела влечёт лишь положительность функции в некоторой проколотой окрестности в точке.

[Otta]

Urnwestek в сообщении #785434 писал(а):

разве положительность основания не более, наоборот, сильное условие, нежли положительность некоторого предела в точке?

Нет. Из положительности основания в окрестности следует неотрицательность предела в точке.
Если у Вас путаница возникла из-за множества, на которых мы говорили про положительность, то поскольку предел зависит только от локальных свойств функции, то разумеется, и подразумевалась положительность локальная. Глобальная нужна только для того, чтобы функция была определена, а область определения нам не уточнялась. Да и не очень надо. Никто не смотрит, везде ли положительно основание, чтобы посчитать $\lim_{x\to 0}(\varepsilon^2-x^2)^x$ (лениво придумывать сейчас более качественный). Ясно, что важно поведение функции в окрестности нуля.

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #785434 писал(а):

Не подумайте, что я с вами спорю,

А хоть бы и спорили. Это часто и занимательно, и полезно.

[Urnwestek]

Да, теперь всё понятно, спасибо. Действительно, кстати, думал о глобальной положительности почему-то. (:

[Tosha]

Спасибо!