Есть ли такие свойства предела?

[Tosha]

1) $\lim\limits_{x\to x_0}a^{f(x)}=a^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}, a\in\mathbb{R}$

2) $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}^a=\left({\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}\right)^a, a\in\mathbb{R}$

3) $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}^{g(x)}=\left({\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}\right)^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x), $

Каковы должны быть ограничения на константы и функции, чтобы эти свойства были выполнены?

И еще вопрос -- ведь возможны три ситуации стремления $x$ к чему-либо.

1) $x\to x_0$ (к какому-нибудь числу)

2) $x\to x_0\pm 0$

3) $x\to\pm \infty$

Можно ли как-то обощенно назвать -- икс стремится к чему-то там? Ммм? Или нет такого специального обозначения? $x\to\text{куда-то далеко}$

[Otta]

Tosha в сообщении #784851 писал(а):

Можно ли как-то обощенно назвать -- икс стремится к чему-то там? Ммм? Или нет такого специального обозначения?

Например, есть предел по базе (фильтра). У Зорича чуть не с первых страниц стандартного курса.
Перечисленные Вами внизу ситуации (1-3) (и не только они) - база предела. Посмотрите, если одолеете, очень удобный аппарат.

[Dan B-Yallay]

Tosha
То, что у вас написано в верхних 1)-3) (предельные переходы) - таких свойств у пределов для произвольных функций нет.
Для некоторых такой переход возможен, это зависит от поведения конкретной(ых) функции(й) вокруг предела.

[Nemiroff]

Tosha в сообщении #784851 писал(а):

Каковы должны быть ограничения на константы и функции, чтобы эти свойства были выполнены?

Давайте константа $a$ будет положительной. Иначе не очень понятно, как вы собираетесь возводить в степень. И ещё наверное нужны слова про существование предела.

[Otta]

Первые два никакой сложности не представляют, надо просто проследить за выполнением условий теоремы о пределе композиции. Третье - вот тут могут быть проблемы. Одного существования всяко недостаточно.

[Urnwestek]

1) Предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ существует.

2) Предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ cуществует и больше нуля.

3) Когда $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ существует, $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ существует и больше нуля.

Условия не являются необходимыми, а лишь достаточными, вроде так.

[Otta]

Urnwestek в сообщении #784867 писал(а):

Предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ cуществует и больше нуля.

Зачем ему быть больше нуля? Он вполне может быть и нулевым. Неотрицательной должна быть $f$, если мы действительно хотим считать этот предел для вещественных положительных значений показателя.

[Urnwestek]

Otta в сообщении #784868 писал(а):

Неотрицательной должна быть $f$

Да, точно. Тогда и в 3) надо наложить условие на положительность самой $f(x)$ (я пользовался равенством $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ и непрерывностью $e^x$).

[Otta]

$f$, конечно, должна быть положительной. Но вот предел тоже должен быть положительным, если показатель стремится к нулю , например.
Иначе мы вляпаемся в море нехороших ситуаций типа $x^x$, $x\to 0$.
И если налагать условие положительности на предел, то положительность $f$ требовать излишне - она сама собой будет финально положительной, при условии положительности предела $f$.

Когда показатель имеет конечный ненулевой предел, то да, достаточно положительности $f$.

Вроде так.

И еще, похоже, Вы смотрели только конечные пределы. Может, так и надо. А может, и нет. Но думаю, хоть что-то надо оставить ТС.

Если бесконечные пределы допускаются, разнообразия будет несколько больше.

[Nemiroff]

Otta в сообщении #784871 писал(а):

Иначе мы вляпаемся в море нехороших ситуаций типа $x^x$, $x\to 0$.

А что тут нехорошего?

[Otta]

Nemiroff в сообщении #784872 писал(а):

А что тут нехорошего?

Все хорошо, кроме того, что нельзя написать, что ейный предел равен $0^0$.

[Nemiroff]

А-а-а. Ну да, действительно.
Короче вот так:

$$\lim f(x)^{g(x)} = \lim\> \exp\left( g(x)\ln(f(x))\right) = \exp\left(\lim g(x)\ln f(x)\right)$$

Верно, когда $f$ положительна.

$$\left(\lim f(x)\right)^{\lim g(x)}=\exp\left(\lim g(x) \ln \lim f(x)\right)=\exp\left(\lim g(x)\ln f(x)\right)$$

Верно, когда логарифм существует и от предела, и от функции (в окрестности).

??

[Otta]

Nemiroff в сообщении #784874 писал(а):

Верно, когда логарифм существует и от предела, и от функции (в окрестности).

Ну да. Но опять же, это достаточное условие. Кстати, у Вас хватит существования логарифма от предела.

[Nemiroff]

Otta в сообщении #784876 писал(а):

Кстати, у Вас хватит существования логарифма от предела.

А если $f$ не непрерывна?

[Otta]

Логарифм предела существует, значит, предел положителен, значит, функция положительна (локально, например, в некоторой проколотой окрестности), значит,...

Вы же не существование логарифма $f(x_0)$ требуете, чтобы Вас непрерывность волновала. Бывает ли, чтобы предел был положителен, а функция в окрестности - нет?